Um posto de inspeção numa autoestrada monitora o fluxo de caminhões de carga pesada. Sabe-se que a chegada desses caminhões ao posto segue um Processo de Poisson com uma taxa média ( \lambda ) de 4 caminhões a cada 10 minutos (ou 0,4 caminhão/minuto). (Distr. Gama)
a) Qual é o tempo médio esperado (em minutos) até a chegada do 5^{\circ} caminhão ao posto?
b) Qual é a probabilidade de que a espera até a chegada do 5^{\circ} caminhão seja de mais de 15 minutos?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informação: a chegada de caminhões segue um processo de Poisson com taxa média \lambda = 0,4 caminhão por minuto (equivalente a 4 caminhões a cada 10 minutos).
  • Informação: o problema indica “(Distr. Gama)” — isto sugere que o tempo até o k-ésimo evento seguirá uma distribuição Gama/Erlang quando as chegadas são de Poisson.
  • Pergunta (a): Qual é o tempo médio esperado (em minutos) até a chegada do 5^{\circ} caminhão ao posto?
  • Pergunta (b): Qual é a probabilidade de que a espera até a chegada do 5^{\circ} caminhão seja de mais de 15 minutos?

Passo 2

Entendendo o modelo e as variáveis — explicação didática (passo a passo, tipo “aula rápida”):
  • Em um processo de Poisson com taxa \lambda, contei os eventos por unidade de tempo. Aqui \lambda significa “em média quantos caminhões chegam por minuto”: \lambda = 0,4.
  • Interpretação útil: os tempos entre chegadas consecutivas (chamados de tempos entre-ocorrências ou interarrival times) são variáveis aleatórias independentes com distribuição Exponencial de parâmetro \lambda. Uma variável Exponencial X com parâmetro \lambda tem esperança E[X]=\dfrac{1}{\lambda}. Então, em média, o tempo entre chegadas é 1/\lambda minutos.
  • Agora, o tempo até o k-ésimo evento, que vou chamar de T_k, é a soma de k desses tempos exponenciais independentes:
T_k = X_1 + X_2 + \dots + X_k,
onde cada X_i \sim \text{Exp}(\lambda). Essa soma tem distribuição Gama (quando k é inteiro positivo costuma chamar-se Erlang).
  • Uma propriedade muito prática: a esperança da soma é a soma das esperanças. Então
E[T_k] = E[X_1] + \dots + E[X_k] = k \cdot \frac{1}{\lambda} = \frac{k}{\lambda}.
Isso responde a (a) assim que soubermos k e \lambda.
  • Para a probabilidade de exceder um tempo t: a ocorrência "o k-ésimo evento acontece depois de t" é equivalente a “até o tempo t ocorreram no máximo k-1 eventos”. Em notação:
P(T_k > t) = P(N(t) \le k-1),
onde N(t) é o número de chegadas até o tempo t. E N(t) tem distribuição de Poisson com média \lambda t:
P(N(t)=n) = e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}.
Logo, para calcular P(T_k>t) somamos as probabilidades de N(t)=0,1,\dots,k-1:
P(T_k>t) = \sum_{n=0}^{k-1} e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}.
Esse é um método muito prático na prova: em vez de integrar a densidade Gama, usamos a relação com o processo de Poisson.

Passo 3

Aplicando ao item (a) — tempo médio até o 5^{\circ} caminhão:
  • Aqui k=5 e \lambda=0,4.
  • Pela fórmula da esperança da Gama/Erlang:
E[T_5] = \frac{k}{\lambda} = \frac{5}{0,4}.
  • Calculemos \dfrac{5}{0,4}: multiplicando numerador e denominador por 10 dá \dfrac{50}{4}=12,5.
Portanto, o tempo médio esperado até a chegada do 5^{\circ} caminhão é \,12,5 minutos.

Passo 4

Aplicando ao item (b) — probabilidade de que a espera até o 5^{\circ} caminhão seja mais de 15 minutos:
  • Usamos a equivalência explicada: com k=5 e t=15,
P(T_5 > 15) = P(N(15) \le 4).
  • Sabendo que N(15)\sim\text{Poisson}(\lambda t) com \lambda t = 0,4\times 15, calculemos \lambda t:
\lambda t = 0,4 \cdot 15 = 6.
  • Então
P(T_5>15) = \sum_{n=0}^{4} e^{-6}\frac{6^n}{n!}.

Passo 5

Calculemos numericamente a soma passo a passo (mostrando cada termo):
  • Primeiro, e^{-6} é aproximadamente 0,002478752 (valor padrão de e^{-6}).
  • Agora cada termo e^{-6}\dfrac{6^n}{n!}:
n = 0:
e^{-6}\frac{6^0}{0!} = e^{-6}\cdot 1 \approx 0,002478752.
n = 1:
e^{-6}\frac{6^1}{1!} = e^{-6}\cdot 6 \approx 0,014872513.
n = 2:
e^{-6}\frac{6^2}{2!} = e^{-6}\cdot 18 \approx 0,044617540.
n = 3:
e^{-6}\frac{6^3}{3!} = e^{-6}\cdot 36 \approx 0,089235089.
n = 4:
e^{-6}\frac{6^4}{4!} = e^{-6}\cdot 54 \approx 0,133852634.
  • Somando os termos:
0,002478752 + 0,014872513 + 0,044617540 + 0,089235089 + 0,133852634 \approx 0,285056528.
Arredondando de forma razoável (por exemplo 4 casas decimais), obtemos \approx 0,2851.

Resposta

12,5 minutos\n
0,2851 (aproximadamente)

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