Um posto de inspeção numa autoestrada monitora o fluxo de caminhões de carga pesada. Sabe-se que a chegada desses caminhões ao posto segue um Processo de Poisson com uma taxa média (
) de 4 caminhões a cada 10 minutos (ou 0,4 caminhão/minuto). (Distr. Gama)
a) Qual é o tempo médio esperado (em minutos) até a chegada do
caminhão ao posto?
b) Qual é a probabilidade de que a espera até a chegada do
caminhão seja de mais de 15 minutos?
a) Qual é o tempo médio esperado (em minutos) até a chegada do
b) Qual é a probabilidade de que a espera até a chegada do
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Informação: a chegada de caminhões segue um processo de Poisson com taxa média
caminhão por minuto (equivalente a 4 caminhões a cada 10 minutos). - Informação: o problema indica “(Distr. Gama)” — isto sugere que o tempo até o
-ésimo evento seguirá uma distribuição Gama/Erlang quando as chegadas são de Poisson. - Pergunta (a): Qual é o tempo médio esperado (em minutos) até a chegada do
caminhão ao posto? - Pergunta (b): Qual é a probabilidade de que a espera até a chegada do
caminhão seja de mais de 15 minutos?
Passo 2
Entendendo o modelo e as variáveis — explicação didática (passo a passo, tipo “aula rápida”):
- Em um processo de Poisson com taxa
, contei os eventos por unidade de tempo. Aqui significa “em média quantos caminhões chegam por minuto”: . - Interpretação útil: os tempos entre chegadas consecutivas (chamados de tempos entre-ocorrências ou interarrival times) são variáveis aleatórias independentes com distribuição Exponencial de parâmetro
. Uma variável Exponencial com parâmetro tem esperança . Então, em média, o tempo entre chegadas é minutos. - Agora, o tempo até o
-ésimo evento, que vou chamar de , é a soma de desses tempos exponenciais independentes:
onde cada
. Essa soma tem distribuição Gama (quando
é inteiro positivo costuma chamar-se Erlang).
- Uma propriedade muito prática: a esperança da soma é a soma das esperanças. Então
Isso responde a (a) assim que soubermos
e
.
- Para a probabilidade de exceder um tempo
: a ocorrência "o -ésimo evento acontece depois de " é equivalente a “até o tempo ocorreram no máximo eventos”. Em notação:
onde
é o número de chegadas até o tempo
. E
tem distribuição de Poisson com média
:
Logo, para calcular
somamos as probabilidades de
:
Esse é um método muito prático na prova: em vez de integrar a densidade Gama, usamos a relação com o processo de Poisson.
Passo 3
Aplicando ao item (a) — tempo médio até o
caminhão:
- Aqui
e . - Pela fórmula da esperança da Gama/Erlang:
- Calculemos
: multiplicando numerador e denominador por 10 dá .
Portanto, o tempo médio esperado até a chegada do
caminhão é
minutos.
Passo 4
Aplicando ao item (b) — probabilidade de que a espera até o
caminhão seja mais de 15 minutos:
- Usamos a equivalência explicada: com
e ,
- Sabendo que
com , calculemos :
- Então
Passo 5
Calculemos numericamente a soma passo a passo (mostrando cada termo):
- Primeiro,
é aproximadamente (valor padrão de ). - Agora cada termo
:
n = 0:
n = 1:
n = 2:
n = 3:
n = 4:
- Somando os termos:
Arredondando de forma razoável (por exemplo 4 casas decimais), obtemos
.