O tempo de CPU para executar um algoritmo é medido em milissegundos (
), sendo este um processo de Poisson em que historicamente há 0,5 execuções do algoritmo a cada
. Determine qual a probabilidade de que seja usado mais de 1
para 3 execuções do algoritmo.
Passo 1
O enunciado diz que o tempo de CPU segue um processo de Poisson com taxa histórica de
execuções por
. A pergunta é: qual a probabilidade de que seja usado mais de
para ocorrerem
execuções do algoritmo?
Informações dadas e o que precisamos:
Informações dadas e o que precisamos:
- taxa (por unidade de tempo):
execuções por ; - tempo considerado:
; - número de execuções alvo:
.
Queremos calcular.
Passo 2
Ideia chave (intuitiva e muito usada em provas): em um processo de Poisson, dizer que o tempo até a 3ª execução é maior que
é exatamente a mesma coisa que dizer que, nos primeiros
, ocorreram no máximo
execuções. Em símbolos:
onde
é o número de execuções que ocorreram no intervalo de comprimento
.
Passo 3
Agora a fórmula que usamos para
: para um processo de Poisson com taxa
, o número de eventos em um intervalo de duração
tem distribuição de Poisson com parâmetro
. A fórmula é
onde:
-
é a taxa média de eventos por unidade de tempo (aqui ); -
é o comprimento do intervalo (aqui ); -
é o número de eventos (aqui vamos somar para ).
Passo 4
Usando a equivalência do Passo 2, calculamos
Passo 5
Substituímos
. Primeiro calculemos o parâmetro
:
Agora cada termo da soma:
Passo 6
Somando os três termos e fatorando
:
Essa é uma forma exata conveniente para a resposta.
Passo 7
Se quiser uma aproximação numérica, usamos
. Então
Interpretação rápida: a probabilidade é alta porque, em média, para ter 3 execuções com taxa
por
o tempo esperado é
, muito maior que
; por isso é muito provável que em apenas
ainda não tenham ocorrido 3 execuções.