O tempo de CPU para executar um algoritmo é medido em milissegundos ( m s ), sendo este um processo de Poisson em que historicamente há 0,5 execuções do algoritmo a cada m s. Determine qual a probabilidade de que seja usado mais de 1 m s para 3 execuções do algoritmo.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de CPU segue um processo de Poisson com taxa histórica de 0,5 execuções por m s. A pergunta é: qual a probabilidade de que seja usado mais de 1\\ m s para ocorrerem 3 execuções do algoritmo?
Informações dadas e o que precisamos:
  • taxa (por unidade de tempo): \lambda = 0,5 execuções por m s;
  • tempo considerado: t=1\\ m s;
  • número de execuções alvo: 3.
    Queremos calcular P(\text{o tempo até a 3ª execução} > 1\\ m s)éªçã.

Passo 2

Ideia chave (intuitiva e muito usada em provas): em um processo de Poisson, dizer que o tempo até a 3ª execução é maior que 1\\ m s é exatamente a mesma coisa que dizer que, nos primeiros 1\\ m s, ocorreram no máximo 2 execuções. Em símbolos:
\{T_3 > 1\} \Longleftrightarrow \{N(1) \le 2\},
onde N(1) é o número de execuções que ocorreram no intervalo de comprimento 1\\ m s.

Passo 3

Agora a fórmula que usamos para N(t): para um processo de Poisson com taxa \lambda, o número de eventos em um intervalo de duração t tem distribuição de Poisson com parâmetro \lambda t. A fórmula é
P(N(t)=n)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!},
onde:
  • \lambda é a taxa média de eventos por unidade de tempo (aqui \lambda=0,5);
  • t é o comprimento do intervalo (aqui t=1);
  • n é o número de eventos (aqui vamos somar para n=0,1,2).

Passo 4

Usando a equivalência do Passo 2, calculamos
P(T_3>1)=P(N(1)\le2)=\sum_{n=0}^{2} P(N(1)=n)=\sum_{n=0}^{2} e^{-\lambda\cdot 1}\frac{(\lambda\cdot 1)^n}{n!}.

Passo 5

Substituímos \lambda=0,5. Primeiro calculemos o parâmetro \lambda t:
\lambda t = 0,5\cdot 1 = 0,5.
Agora cada termo da soma:
P(N(1)=0)=e^{-0,5}\frac{(0,5)^0}{0!}=e^{-0,5},
P(N(1)=1)=e^{-0,5}\frac{(0,5)^1}{1!}=e^{-0,5}\cdot 0,5,
P(N(1)=2)=e^{-0,5}\frac{(0,5)^2}{2!}=e^{-0,5}\cdot\frac{0,25}{2}=e^{-0,5}\cdot 0,125.

Passo 6

Somando os três termos e fatorando e^{-0,5}:
P(T_3>1)=e^{-0,5}\left(1 + 0,5 + 0,125\right)=e^{-0,5}\cdot 1,625.
Essa é uma forma exata conveniente para a resposta.

Passo 7

Se quiser uma aproximação numérica, usamos e^{-0,5}\approx 0,60653066. Então
P(T_3>1)\approx 1,625\cdot 0,60653066\approx 0,9856.
Interpretação rápida: a probabilidade é alta porque, em média, para ter 3 execuções com taxa 0,5 por m s o tempo esperado é 3/\lambda=3/0,5=6\\ m s, muito maior que 1\\ m s; por isso é muito provável que em apenas 1\\ m s ainda não tenham ocorrido 3 execuções.

Resposta

P(T_3>1)=1,625\,e^{-0,5}\approx 0,9856

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