O tempo até falha (em horas) de um sensor de pressão industrial segue uma Lognormal de média \theta=1,0 e desvio-padrão \omega=0,6. Qual a probabilidade de o sensor falhar antes de 8 horas?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual a probabilidade de o sensor falhar antes de 8 horas?”
Informações dadas (tudo que temos do enunciado):
\theta = 1,0 e \omega = 0,6 são os parâmetros da distribuição Lognormal do tempo até a falha.
O valor que queremos é a probabilidade de o tempo T ser menor que 8 horas, isto é \mathbb{P}(T<8).

Passo 2

Entendendo a Lognormal e o que os parâmetros significam (explicação didática):
Quando dizemos que T tem distribuição Lognormal com parâmetros \theta e \omega, isto significa que a variável X=\ln T tem distribuição Normal com média \theta e desvio-padrão \omega. Em símbolos:
X=\ln T \sim N(\theta,\omega^{2}).
Aqui, \theta é a média de \ln T (ou seja, \theta=\mathbb{E}[\ln T]) e \omega é o desvio-padrão de \ln T. Isso é importante porque trabalhar com a Normal é muito mais simples: somas, padronizações e tabelas da Normal padrão são ferramentas conhecidas.

Passo 3

Transformando o problema para a Normal (passo crucial):
Queremos \mathbb{P}(T<8). Usamos a transformação X=\ln T. Então
\mathbb{P}(T<8)=\mathbb{P}(\ln T < \ln 8)=\mathbb{P}\bigl(X < \ln 8\bigr).
Como X\sim N(\theta,\omega^{2}), podemos padronizar X para usar a tabela da Normal padrão.

Passo 4

Fórmula da padronização e explicação do que cada símbolo significa:
Se X\sim N(\theta,\omega^{2}), a padronização é
Z=\frac{X-\theta}{\omega}\sim N(0,1).
Então
\mathbb{P}\bigl(X<\ln 8\bigr)=\mathbb{P}\!\left(Z<\frac{\ln 8-\theta}{\omega}\right)=\Phi\!\left(\frac{\ln 8-\theta}{\omega}\right),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da Normal padrão (ou seja, \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z) com Z\sim N(0,1)).

Passo 5

Substituindo os valores numéricos (faça cada conta devagar pra não errar):
Primeiro calcule \ln 8. Usando logaritmo natural,
\ln 8 \approx 2,0794415417.
Agora calcule a diferença \ln 8 - \theta:
\ln 8 - \theta \approx 2,0794415417 - 1,0 = 1,0794415417.
Divida pelo desvio-padrão \omega=0,6 para obter o valor padronizado z:
z=\frac{\ln 8 - \theta}{\omega} \approx \frac{1,0794415417}{0,6}\approx 1,7990692361.

Passo 6

Interpretando z e obtendo a probabilidade pela Normal padrão:
Agora queremos \Phi(z)=\Phi(1,7990692361). Para obter essa probabilidade usamos tabela da Normal padrão ou uma calculadora estatística. Usando uma aproximação numérica padrão para \Phi (ou tabela interpolada), obtemos
\Phi(1,7990692361)\approx 0,9641.
Isso significa que a probabilidade de T ser menor que 8 horas é aproximadamente 0,9641, ou 96{,}41\%.

Passo 7

Breve comentário prático para a prova (como fazer rápido):
  • Lembre que, para Lognormal com parâmetros dados como \theta e \omega, sempre passe para a Normal com \ln.
  • Calcule \ln(\text{valor}), padronize por (\cdot-\theta)/\omega e consulte \Phi na tabela.
  • Se não tiver calculadora para \ln, arredonde com cuidado: \ln 8\approx 2{,}0794 é um valor comum que vale decorar para esse tipo de exercício.

Resposta

\,0,9641

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