O tempo até falha (em horas) de um sensor de pressão industrial segue uma Lognormal de média
e desvio-padrão
. Qual a probabilidade de o sensor falhar antes de 8 horas?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Qual a probabilidade de o sensor falhar antes de 8 horas?”
Informações dadas (tudo que temos do enunciado):
e
são os parâmetros da distribuição Lognormal do tempo até a falha.
O valor que queremos é a probabilidade de o tempo ser menor que
horas, isto é
.
Informações dadas (tudo que temos do enunciado):
O valor que queremos é a probabilidade de o tempo
Passo 2
Entendendo a Lognormal e o que os parâmetros significam (explicação didática):
Quando dizemos que tem distribuição Lognormal com parâmetros
e
, isto significa que a variável
tem distribuição Normal com média
e desvio-padrão
. Em símbolos:
Quando dizemos que
Aqui,
é a média de
(ou seja,
) e
é o desvio-padrão de
. Isso é importante porque trabalhar com a Normal é muito mais simples: somas, padronizações e tabelas da Normal padrão são ferramentas conhecidas.
Passo 3
Transformando o problema para a Normal (passo crucial):
Queremos . Usamos a transformação
. Então
Queremos
Como
, podemos padronizar
para usar a tabela da Normal padrão.
Passo 4
Fórmula da padronização e explicação do que cada símbolo significa:
Se , a padronização é
Se
Então
onde
é a função de distribuição acumulada da Normal padrão (ou seja,
com
).
Passo 5
Substituindo os valores numéricos (faça cada conta devagar pra não errar):
Primeiro calcule . Usando logaritmo natural,
Primeiro calcule
Agora calcule a diferença
:
Divida pelo desvio-padrão
para obter o valor padronizado
:
Passo 6
Interpretando
e obtendo a probabilidade pela Normal padrão:
Agora queremos . Para obter essa probabilidade usamos tabela da Normal padrão ou uma calculadora estatística. Usando uma aproximação numérica padrão para
(ou tabela interpolada), obtemos
Agora queremos
Isso significa que a probabilidade de
ser menor que
horas é aproximadamente
, ou
.
Passo 7
Breve comentário prático para a prova (como fazer rápido):
- Lembre que, para Lognormal com parâmetros dados como
e , sempre passe para a Normal com . - Calcule
, padronize por e consulte na tabela. - Se não tiver calculadora para
, arredonde com cuidado: é um valor comum que vale decorar para esse tipo de exercício.