Potência e energia
Em que situações a energia de um sinal é finita?

Passo 1

O enunciado pergunta em que situações a energia de um sinal é finita. Esse é um tópico de sinais e sistemas que exige sabermos a definição de energia de um sinal (contínuo ou discreto) e o critério de convergência da integral (ou soma) de |x|^2.

Passo 2

Definimos a energia de um sinal contínuo x(t) como
E_x = \int_{-\infty}^{\infty} \bigl|x(t)\bigr|^2 \,dt.
No caso discreto x[n],
E_x = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigl|x[n]\bigr|^2.
Em ambos os casos, o sinal tem energia finita se essa integral (ou soma) convergir para um valor numérico limitado.

Passo 3

O critério para energia finita é que \bigl|x(t)\bigr|^2 seja absolutamente integrável (contínuo) ou que \bigl|x[n]\bigr|^2 seja somável (discreto). Em termos funcionais, isso significa que o sinal pertence ao espaço L^2 (no contínuo) ou \ell^2 (no discreto).

Passo 4

Na prática, isso ocorre quando o sinal:
  1. Tem suporte limitado, ou seja, é nulo fora de um intervalo finito— aí a integral/soma fica restrita e, com amplitude finita, converge.
  2. Decai suficientemente rápido em t\to\pm\infty, por exemplo
x(t)=e^{-a|t|},\quad a>0,
ou
x(t)=e^{-t^2},
cujo \int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\,dt é finito.
3) Pertence a L^2 mesmo sem suporte compacto, como a função sinc, pois
\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{sinc}^2(t)\,dt < \infty.

Resposta

A energia de um sinal é finita sempre que
\int_{-\infty}^{\infty} \bigl|x(t)\bigr|^2\,dt < \infty \quad\text{ou}\quad \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigl|x[n]\bigr|^2 < \infty,
isto é, quando o sinal pertence a L^2 (ou \ell^2). Em termos práticos, sinais de duração finita ou que decaiam rápido o suficiente no infinito terão energia finita.

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