Potência e energia
Em que situações a potência de um sinal é finita?

Passo 1

O enunciado pergunta em que situações a potência de um sinal é finita. Esse é um tema de Teoria de Sinais, onde classificamos sinais em energia (energia finita, potência zero) ou potência (potência finita, energia infinita). Para resolver, vamos usar as definições de energia e potência de um sinal.

Passo 2

Definimos a energia de um sinal x(t) como
E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \,\mathrm{d}t
e a potência média como
P = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 \,\mathrm{d}t.
Um sinal tem potência finita quando o limite acima existe, é não nulo e é menor que infinito.

Passo 3

Para que P seja finita precisamos de duas condições principais:
  1. A integral \int_{-T}^{T}|x(t)|^2\,\mathrm{d}t deve crescer, para grandes T, de modo proporcional a T, não mais rápido.
  2. O limite
\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^2\,\mathrm{d}t
deve convergir a um valor 0< P <\infty.
Em particular, isso implica que a energia E será infinita (pois cresce sem limite) mas seu crescimento médio é regulado, dando potência finita.

Passo 4

Os casos típicos em que isso acontece são sinais que não se atenuam para zero nem explodem, mas apresentam comportamento repetitivo ou estacionário, por exemplo:
– Qualquer sinal periódico x(t) cujo quadrado seja integrável num período. Nesse caso
P = \frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}|x(t)|^2\,\mathrm{d}t < \infty.
– Sinais constantes não nulos.
– Processos estacionários ergódicos de variância finita (por ex., ruído branco limitado).
Em todos esses casos a energia total diverge, mas a média de |x(t)|^2 permanece finita.

Resposta

A potência de um sinal é finita sempre que
P = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^2\,\mathrm{d}t
converge a um valor 0< P <\infty. Na prática isso vale para sinais periódicos de quadrado integrável num período, sinais constantes não nulos e processos estacionários de variância finita.

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