Responda as seguintes questões.
Qual o enunciado do Teorema de Cauchy; e como este teorema pode nos ajudar em sinais e sistemas?
Qual o enunciado do Teorema de Cauchy; e como este teorema pode nos ajudar em sinais e sistemas?
Passo 1
Vamos dividir a tarefa em duas partes: primeiro apresentar de forma clara o enunciado do Teorema de Cauchy em análise complexa; depois mostrar como esse resultado teórico se aplica na prática em sinais e sistemas, especialmente ao lidar com transformadas de Laplace e integrais de Fourier via contornos no plano complexo.
Passo 2
O enunciado clássico do Teorema de Cauchy é o seguinte: seja
um domínio simplesmente conexo e seja
uma função holomorfa (isto é, analítica) em todo
. Então, para qualquer curva fechada e positivamente orientada
contida em
, vale
Esse resultado segue da integração de caminho em funções analíticas e é a base para toda a teoria de resíduos e fórmulas de contorno.
Passo 3
Uma consequência imediata do Teorema de Cauchy é a Fórmula Integral de Cauchy, que diz que, para qualquer ponto
interior a
,
A partir daí obtemos também as derivadas de
em termos de integrais de contorno e a expansão em séries de potências (séries de Laurent).
Passo 4
Em sinais e sistemas, o Teorema de Cauchy e suas fórmulas associadas nos permitem:
- Realizar a inversão da transformada de Laplace
deformando o caminho de integração em um contorno fechado e aplicando o Teorema de Cauchy (e, quando houver polos, o Teorema dos Resíduos). - Avaliar integrais de Fourier e integrales impróprias reais via extensão ao plano complexo, usando lemas de Jordan e escolhendo contornos que anulem partes do integral.
- Identificar regiões de convergência e polos de
, o que está diretamente ligado à estabilidade e à resposta em frequência dos sistemas LTI.
Resposta
O Teorema de Cauchy afirma que, se uma função
é holomorfa em um domínio simplesmente conexo
, então a integral de linha de
ao longo de qualquer curva fechada
é zero:
Em sinais e sistemas, esse teorema é fundamental para inverter transformadas de Laplace e de Fourier por meio de integrais de contorno no plano complexo, permitindo usar deformações de caminho e o cálculo de resíduos para obter respostas no domínio do tempo e analisar a estabilidade de sistemas LTI.