Responda as seguintes questões.
Qual o enunciado do Teorema de Cauchy; e como este teorema pode nos ajudar em sinais e sistemas?

Passo 1

Vamos dividir a tarefa em duas partes: primeiro apresentar de forma clara o enunciado do Teorema de Cauchy em análise complexa; depois mostrar como esse resultado teórico se aplica na prática em sinais e sistemas, especialmente ao lidar com transformadas de Laplace e integrais de Fourier via contornos no plano complexo.

Passo 2

O enunciado clássico do Teorema de Cauchy é o seguinte: seja U\subset\mathbb{C} um domínio simplesmente conexo e seja f:U\to\mathbb{C} uma função holomorfa (isto é, analítica) em todo U. Então, para qualquer curva fechada e positivamente orientada \gamma contida em U, vale
\oint_{\gamma} f(z)\,\mathrm{d}z \;=\; 0.
Esse resultado segue da integração de caminho em funções analíticas e é a base para toda a teoria de resíduos e fórmulas de contorno.

Passo 3

Uma consequência imediata do Teorema de Cauchy é a Fórmula Integral de Cauchy, que diz que, para qualquer ponto z_0 interior a \gamma,
f(z_0) =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z - z_0}\,\mathrm{d}z.
A partir daí obtemos também as derivadas de f em termos de integrais de contorno e a expansão em séries de potências (séries de Laurent).

Passo 4

Em sinais e sistemas, o Teorema de Cauchy e suas fórmulas associadas nos permitem:
  1. Realizar a inversão da transformada de Laplace x(t) =\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int_{\sigma-\mathrm{i}\infty}^{\sigma+\mathrm{i}\infty} X(s)e^{st}\,\mathrm{d}sdeformando o caminho de integração em um contorno fechado e aplicando o Teorema de Cauchy (e, quando houver polos, o Teorema dos Resíduos).
  2. Avaliar integrais de Fourier e integrales impróprias reais via extensão ao plano complexo, usando lemas de Jordan e escolhendo contornos que anulem partes do integral.
  3. Identificar regiões de convergência e polos de X(s), o que está diretamente ligado à estabilidade e à resposta em frequência dos sistemas LTI.

Resposta

O Teorema de Cauchy afirma que, se uma função f é holomorfa em um domínio simplesmente conexo U, então a integral de linha de f ao longo de qualquer curva fechada \gamma\subset U é zero:
\oint_{\gamma} f(z)\,\mathrm{d}z = 0.
Em sinais e sistemas, esse teorema é fundamental para inverter transformadas de Laplace e de Fourier por meio de integrais de contorno no plano complexo, permitindo usar deformações de caminho e o cálculo de resíduos para obter respostas no domínio do tempo e analisar a estabilidade de sistemas LTI.

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