Com um potencial dado por V=80 \rho^{0,6} V, assumindo as condições de espaço livre, encontre:
a. Intensidade de campo elétrico.
b. A densidade volumétrica de carga em \rho=0,5 m.
c. A carga total dentro da superfície \rho=0,6,0<z<1.

Passo 1

O enunciado dá o potencial em coordenadas cilíndricas,
V(\rho)=80\,\rho^{0,6}\text{ V},
em espaço livre. Pede-se:
– (a) o campo elétrico \mathbf{E}=-\nabla V,
– (b) a densidade volumétrica de carga \rho_v=\varepsilon_0\,\nabla\cdot\mathbf{E} em \rho=0,5 m,
– (c) a carga total Q=\displaystyle\int \rho_v\,dV no cilindro 0\le\rho\le0,6, 0\le z\le1, 0\le\theta<2\pi.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, só há componente radial de \mathbf{E}:
E_{\rho}=-\frac{dV}{d\rho} =-\frac{d}{d\rho}\bigl(80\,\rho^{0,6}\bigr) =-80\cdot0,6\,\rho^{-0,4} =-48\,\rho^{-0,4}.
Logo
\mathbf{E}=-48\,\rho^{-0,4}\,\hat\rho\quad(\text{V/m}).

Passo 3

A densidade de carga em espaço livre vem de
\rho_v=\varepsilon_0\;\nabla\!\cdot\mathbf{E} =\varepsilon_0\;\frac{1}{\rho}\,\frac{d}{d\rho}(\rho\,E_{\rho}).
Calculamos
\rho\,E_{\rho}=\rho\bigl(-48\,\rho^{-0,4}\bigr)=-48\,\rho^{0,6}, \quad \frac{d}{d\rho}(\rho\,E_{\rho})=-48\cdot0,6\,\rho^{-0,4}=-28,8\,\rho^{-0,4},
portanto
\rho_v(\rho) =\varepsilon_0\;\frac{-28,8\,\rho^{-0,4}}{\rho} =-28,8\,\varepsilon_0\,\rho^{-1,4}.
Em \rho=0,5 m,
\rho_v(0,5) =-28,8\,\varepsilon_0\,(0,5)^{-1,4} \approx -28,8\,(8{,}854\times10^{-12})\times2{,}638 \approx -6,7\times10^{-10}\;\text{C/m}^3.

Passo 4

A carga total no cilindro é
Q=\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{0,6} \rho_v(\rho)\,\rho\,d\rho\,d\theta\,dz.
Substituindo \rho_v=-28,8\,\varepsilon_0\,\rho^{-1,4} e integrando:
Q =-28,8\,\varepsilon_0\int_{0}^{1}dz\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{0,6}\rho^{-1,4}\,\rho\,d\rho =-28,8\,\varepsilon_0(1)(2\pi)\int_{0}^{0,6}\rho^{-0,4}d\rho.
Como
\int_{0}^{0,6}\rho^{-0,4}d\rho =\bigl[\tfrac{\rho^{0,6}}{0,6}\bigr]_{0}^{0,6} =\frac{0,6^{0,6}}{0,6}\approx1,226,
vem
Q\approx -28,8\cdot2\pi\cdot1,226\cdot\varepsilon_0 \approx -1,96\times10^{-9}\;\text{C}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}=-48\,\rho^{-0,4}\,\hat\rho\quad(\mathrm{V/m}).
(b) \displaystyle \rho_v(0,5) \approx -6,7\times10^{-10}\;\mathrm{C/m^3}.
(c) \displaystyle Q\approx -1,96\times10^{-9}\;\mathrm{C}.

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