Dois discos com raio a estão dispostos de forma paralela em z=0 e z=d. O disco de cima ( z=d ) é elevado a um potencial V_{0}, enquanto o de baixo está aterrado (potencial nulo). Entre os discos há um material condutor com condutividade de dependência radial \sigma(\rho)=\sigma_{0} \rho, onde \sigma_{0} é uma constante.
a. Encontre a intensidade de campo elétrico independente de \rho entre os dois discos.
b. Determine a densidade de corrente entre os discos.
c. Encontre a resistência entre os discos.

Passo 1

O enunciado descreve dois discos paralelos de raio a, situados em z=0 (baixo, potencial zero) e z=d (cima, potencial V_{0}), preenchidos por um condutor com condutividade radial
\sigma(\rho)=\sigma_{0}\,\rho.
Precisamos usar simetria cilíndrica, a relação \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E} e a definição de resistência elétrica para encontrar:
a) o campo elétrico \mathbf{E},
b) a densidade de corrente \mathbf{J},
c) a resistência entre os discos.

Passo 2

Por simetria, as superfícies z=0 e z=d são equipotenciais constantes e não há variação de potencial em \rho. Logo, o potencial \varphi depende apenas de z e o campo elétrico está na direção z, com módulo E_z(z) independente de \rho. Em regime estacionário \nabla\cdot\mathbf{J}=0 e, como \sigma só varia em \rho mas não há componente radial de \mathbf{E}, conclui-se que E_z é também independente de z.

Passo 3

A diferença de potencial entre os discos é
V_{0}=\varphi(0)-\varphi(d)=\int_{0}^{d}E_{z}\,dz
como E_{z} é constante,
E_{z}=\frac{V_{0}}{d}.

Passo 4

Usando \mathbf{J}=\sigma(\rho)\mathbf{E} na direção z,
J_{z}(\rho)=\sigma(\rho)\,E_{z} =\bigl(\sigma_{0}\,\rho\bigr)\,\frac{V_{0}}{d} =\frac{\sigma_{0}\,V_{0}}{d}\,\rho.

Passo 5

A corrente total I é a soma das correntes em anéis de raio \rho e espessura d\rho:
I = \int_{0}^{a}J_{z}(\rho)\,2\pi\,\rho\,d\rho =2\pi\,\frac{\sigma_{0}\,V_{0}}{d}\int_{0}^{a}\rho^{2}d\rho =2\pi\,\frac{\sigma_{0}\,V_{0}}{d}\,\frac{a^{3}}{3}.

Passo 6

A resistência elétrica entre os discos é
R=\frac{V_{0}}{I} =\frac{V_{0}}{2\pi\,\frac{\sigma_{0}\,V_{0}}{d}\,\frac{a^{3}}{3}} =\frac{3\,d}{2\pi\,\sigma_{0}\,a^{3}}.

Resposta

(a) \displaystyle E_{z}=\frac{V_{0}}{d}.
(b) \displaystyle J_{z}(\rho)=\frac{\sigma_{0}\,V_{0}}{d}\,\rho.
(c) \displaystyle R=\frac{3\,d}{2\pi\,\sigma_{0}\,a^{3}}.

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