Uma densidade de carga é definida por \rho_{v}=\frac{\rho_{0} r}{a} para 0 \leq r \leq a e \rho_{v}=0 para r> a. Derive as equações de densidade de fluxo elétrico para qualquer valor de r.

Passo 1

O enunciado define uma densidade volumétrica de carga com simetria esférica
\rho_{v}(r)= \begin{cases} \dfrac{\rho_{0}\,r}{a},&0\le r\le a,\\[6pt] 0,&r>a \end{cases}
e pede a densidade de fluxo elétrico \mathbf{D}(r) para qualquer r.
Aqui usamos o conteúdo de lei de Gauss no vácuo
\oint_{S} \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q_{\rm int}
em superfícies esféricas de raio r.]

Passo 2

Por simetria, \mathbf{D}(r)=D_{r}(r)\,\mathbf{a}_{r} e em uma esfera de raio r temos
\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} = D_{r}(r)\,\bigl(4\pi r^{2}\bigr) =Q_{\rm int}(r).
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D_{r}(r)=\frac{Q_{\rm int}(r)}{4\pi r^{2}}.

Passo 3

Para 0\le r\le a, o carregamento interno é
Q_{\rm int}(r) =\int_{0}^{r}\rho_{v}(r')\,4\pi r'^{2}dr' =\int_{0}^{r}\frac{\rho_{0}\,r'}{a}\,4\pi r'^{2}dr' =\frac{4\pi\rho_{0}}{a}\int_{0}^{r}r'^{3}dr' =\frac{4\pi\rho_{0}}{a}\,\frac{r^{4}}{4} =\pi\rho_{0}\,\frac{r^{4}}{a}.

Passo 4

Substituindo em D_{r}(r)=Q_{\rm int}/(4\pi r^{2}) para r\le a, obtemos
D_{r}(r) =\frac{\pi\rho_{0}\,\dfrac{r^{4}}{a}}{4\pi r^{2}} =\frac{\rho_{0}\,r^{2}}{4\,a},
de modo que
\mathbf{D}(r)=\frac{\rho_{0}\,r^{2}}{4\,a}\,\mathbf{a}_{r} \quad(0\le r\le a).

Passo 5

Para r>a, todo o volume até a está contido e o carregamento total é
Q_{\rm tot} =\int_{0}^{a}\frac{\rho_{0}\,r'}{a}\,4\pi r'^{2}dr' =\pi\rho_{0}\,\frac{a^{4}}{a} =\pi\rho_{0}\,a^{3}.
Então, para r>a,
D_{r}(r) =\frac{Q_{\rm tot}}{4\pi r^{2}} =\frac{\pi\rho_{0}\,a^{3}}{4\pi r^{2}} =\frac{\rho_{0}\,a^{3}}{4\,r^{2}},
isto é
\mathbf{D}(r)=\frac{\rho_{0}\,a^{3}}{4\,r^{2}}\,\mathbf{a}_{r} \quad(r>a).

Resposta

Para todo r:
\mathbf{D}(r)= \begin{cases} \dfrac{\rho_{0}\,r^{2}}{4\,a}\,\mathbf{a}_{r},&0\le r\le a,\\[8pt] \dfrac{\rho_{0}\,a^{3}}{4\,r^{2}}\,\mathbf{a}_{r},&r>a. \end{cases}]

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