O potencial elétrico dentro de uma esfera de raio
e permissividade
é dado por
. A esfera está localizada no espaço livre. Encontre o campo elétrico em toda a região do espaço.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação: dentro da esfera de raio
(ou seja, para ) o potencial elétrico vale
- Informação: a esfera tem permissividade elétrica
no seu interior e está imersa no espaço livre (no exterior a permissividade é ). - Pergunta: encontrar o campo elétrico em toda a região do espaço (ou seja, para
e para ).
Passo 2
Relação básica que vamos usar (aula rápida e prática):
Isto significa: o campo elétrico é menos o gradiente do potencial. Para funções com simetria esférica (isto é,
depende só de
), o gradiente fica muito simples:
onde
é o versor radial (aponta para fora). Então para
calculamos a derivada:
Portanto o campo elétrico dentro da esfera é
Interpretação rápida: como
cresce com
, o campo aponta para dentro (sinal negativo).
Passo 3
Agora vamos verificar se existem cargas no interior e qual é a densidade de carga livre ali. Usamos a equação de Poisson em termos do deslocamento elétrico
:
Como
, temos
Para uma função radial, o laplaciano em coordenadas esféricas é
Calculemos com
:
Logo a densidade de carga livre no interior é
Comentário: é uma densidade uniforme (constante) negativa dentro da esfera — ou seja, há carga volumétrica livre distribuída no interior que justifica o potencial dado.
Passo 4
Agora precisamos do campo no exterior (
). No espaço livre, fora da esfera, não há carga volumétrica distribuída (assumimos nenhuma carga espalhada no infinito), então o potencial
satisfaz a equação de Laplace:
Para solução esfericamente simétrica geral de Laplace temos
onde
e
são constantes. Como a esfera está isolada no espaço livre e normalmente assumimos que o potencial tende a zero no infinito (
quando
), obtemos
. Assim
Usamos a continuidade do potencial na superfície
(o potencial não apresenta salto):
Da parte interna temos
. Então
Portanto o potencial fora é
Calculamos o campo fora usando
(novamente radial):
Observação física: fora o campo tem comportamento de carga total concentrada no centro (proporcional a
), como se a carga total estivesse efetivamente na superfície/centro.
Passo 5
Verificação das condições de contorno na superfície
:
- Continuidade do potencial:
e . OK. - Descontinuidade do componente normal de
dá a densidade de carga livre superficial :
Calculando:
Isto mostra que existe também uma carga superficial livre na superfície
que, junto com a densidade volumétrica
no interior, resulta no potencial e campos encontrados.