O potencial elétrico dentro de uma esfera de raio r=b e permissividade \varepsilon é dado por V=r^{2}. A esfera está localizada no espaço livre. Encontre o campo elétrico em toda a região do espaço.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação: dentro da esfera de raio b (ou seja, para r<b) o potencial elétrico vale
V(r)=r^{2}.
  • Informação: a esfera tem permissividade elétrica \varepsilon no seu interior e está imersa no espaço livre (no exterior a permissividade é \varepsilon_{0}).
  • Pergunta: encontrar o campo elétrico em toda a região do espaço (ou seja, para r<b e para r>b).

Passo 2

Relação básica que vamos usar (aula rápida e prática):
\mathbf{E} = -\nabla V.
Isto significa: o campo elétrico é menos o gradiente do potencial. Para funções com simetria esférica (isto é, V depende só de r), o gradiente fica muito simples:
\nabla V = \frac{dV}{dr}\,\hat r,
onde \hat r é o versor radial (aponta para fora). Então para V(r)=r^{2} calculamos a derivada:
\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}(r^{2}) = 2r.
Portanto o campo elétrico dentro da esfera é
\mathbf{E}_{\text{in}}(r) = -\frac{dV}{dr}\,\hat r = -2r\,\hat r\qquad (r<b).
Interpretação rápida: como V cresce com r, o campo aponta para dentro (sinal negativo).

Passo 3

Agora vamos verificar se existem cargas no interior e qual é a densidade de carga livre ali. Usamos a equação de Poisson em termos do deslocamento elétrico \mathbf{D}:
\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E},\qquad \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{free}}.
Como \mathbf{D}=-\varepsilon\nabla V, temos
\rho_{\text{free}} = -\varepsilon\nabla^{2}V.
Para uma função radial, o laplaciano em coordenadas esféricas é
\nabla^{2}V=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV}{dr}\right).
Calculemos com V=r^{2}:
\frac{dV}{dr}=2r,\qquad r^{2}\frac{dV}{dr}=r^{2}\cdot 2r=2r^{3},
\frac{d}{dr}\!\left(2r^{3}\right)=6r^{2},
\nabla^{2}V=\frac{1}{r^{2}}\cdot 6r^{2}=6.
Logo a densidade de carga livre no interior é
\rho_{\text{free}} = -\varepsilon\cdot 6 = -6\varepsilon\qquad (r<b).
Comentário: é uma densidade uniforme (constante) negativa dentro da esfera — ou seja, há carga volumétrica livre distribuída no interior que justifica o potencial dado.

Passo 4

Agora precisamos do campo no exterior ( r>b). No espaço livre, fora da esfera, não há carga volumétrica distribuída (assumimos nenhuma carga espalhada no infinito), então o potencial V satisfaz a equação de Laplace:
\nabla^{2}V=0\qquad (r>b).
Para solução esfericamente simétrica geral de Laplace temos
V_{\text{out}}(r)=A+\frac{B}{r},
onde A e B são constantes. Como a esfera está isolada no espaço livre e normalmente assumimos que o potencial tende a zero no infinito ( V(r)\to 0 quando r\to\infty), obtemos A=0. Assim
V_{\text{out}}(r)=\frac{B}{r}.
Usamos a continuidade do potencial na superfície r=b (o potencial não apresenta salto):
V_{\text{out}}(b)=V_{\text{in}}(b).
Da parte interna temos V_{\text{in}}(b)=b^{2}. Então
\frac{B}{b}=b^{2}\quad\Rightarrow\quad B=b^{3}.
Portanto o potencial fora é
V_{\text{out}}(r)=\frac{b^{3}}{r}\qquad (r>b).
Calculamos o campo fora usando \mathbf{E}=-\nabla V (novamente radial):
\frac{dV_{\text{out}}}{dr}=\frac{d}{dr}\!\left(\frac{b^{3}}{r}\right)=-\frac{b^{3}}{r^{2}},
\mathbf{E}_{\text{out}}(r)=-\frac{dV_{\text{out}}}{dr}\,\hat r=\frac{b^{3}}{r^{2}}\,\hat r\qquad (r>b).
Observação física: fora o campo tem comportamento de carga total concentrada no centro (proporcional a 1/r^{2}), como se a carga total estivesse efetivamente na superfície/centro.

Passo 5

Verificação das condições de contorno na superfície r=b:
  • Continuidade do potencial: V_{\text{in}}(b)=b^{2} e V_{\text{out}}(b)=b^{3}/b=b^{2}. OK.
  • Descontinuidade do componente normal de \mathbf{D} dá a densidade de carga livre superficial \sigma_{\text{free}}:
\sigma_{\text{free}} = \mathbf{D}_{\text{out}}\cdot\hat r - \mathbf{D}_{\text{in}}\cdot\hat r = \varepsilon_{0}E_{\text{out}}(b) - \varepsilon E_{\text{in}}(b).
Calculando:
E_{\text{out}}(b)=\frac{b^{3}}{b^{2}}=b,\qquad E_{\text{in}}(b)=-2b,
\sigma_{\text{free}}=\varepsilon_{0}b - \varepsilon(-2b)=b(\varepsilon_{0}+2\varepsilon).
Isto mostra que existe também uma carga superficial livre na superfície r=b que, junto com a densidade volumétrica \rho_{\text{free}}=-6\varepsilon no interior, resulta no potencial e campos encontrados.

Resposta

\mathbf{E}(r) = -2r\,\hat r,\; r<b
\mathbf{E}(r) = \dfrac{b^{3}}{r^{2}}\,\hat r,\; r>b

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