Três cargas, cada qual com q=10^{-7} \mathrm{C} estão localizadas sobre o eixo x em x=0, x=1 \mathrm{~m} \mathrm{e} \mathrm{x}=2 \mathrm{~m}.
a) Calcule o potencial em ( x=0 ; y=1 m ).
b) Calcule a intensidade de campo elétrico em ( x=0 ; y=1 m ). Dica: Obtenha primeiro a expressão para o potencial em termos de coordenadas genéricas no ponto \mathrm{P}(\mathrm{x} ; \mathrm{y}).

Passo 1

O enunciado dá três cargas puntiformes iguais \;q=10^{-7}\,\mathrm{C}\; localizadas sobre o eixo x nos pontos \;x=0,\;x=1\\ \mathrm{m}\; e \;x=2\\ \mathrm{m}\; (todas em y=0). Pede-se:
a) o potencial elétrico no ponto P=(0,1\\ \mathrm{m});
b) a intensidade do campo elétrico no ponto P=(0,1\\ \mathrm{m}).
Informações relevantes extraídas do enunciado: as três cargas têm o mesmo valor \;q=10^{-7}\,\mathrm{C}\;, e suas coordenadas são (0,0),(1,0),(2,0). O ponto onde queremos o potencial e o campo é (x=0,y=1\\ \mathrm{m}). O enunciado sugere primeiro obter a expressão do potencial V(x,y) genérico no ponto P(x,y).

Passo 2

Fórmula e princípio que vamos usar (explicação didática).
  • Potencial de uma carga puntiforme: a contribuição ao potencial no ponto P de uma carga q situada a uma distância r é
V=\;k\,\frac{q}{r},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática ( \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo). Aqui q é a carga (em coulombs) e r é a distância do ponto P até a carga (em metros). O potencial é escalar e obedece ao princípio da superposição: o potencial total é a soma das contribuições de cada carga.
  • Distâncias: se uma carga está em (x_i,0) e o ponto P está em (x,y), a distância é
r_i=\sqrt{(x-x_i)^2+y^2}.
Aplicando isso ao nosso caso com três cargas idênticas q em x_0=0,\;x_1=1,\;x_2=2, obtemos a expressão genérica para o potencial em P(x,y):
V(x,y)=k\,q\left(\frac{1}{\sqrt{(x-0)^2+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{(x-2)^2+y^2}}\right).
Essa expressão é simplesmente a soma das três frações kq/r_i, cada uma com seu respectivo r_i.

Passo 3

Calcular o potencial no ponto pedido (x=0,y=1\\ \mathrm{m}). Primeiro calculamos as distâncias r_i do ponto P até cada carga:
r_0=\sqrt{(0-0)^2+1^2}=1\\ \mathrm{m},
r_1=\sqrt{(0-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\\ \mathrm{m},
r_2=\sqrt{(0-2)^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\\ \mathrm{m}.
Substituindo na fórmula do passo anterior:
V(0,1)=k\,q\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
Agora valores numéricos: usamos k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}9875517923\times10^9\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2} e q=10^{-7}\\ \mathrm{C}, então
kq\approx 8{,}9875517923\times10^9\times10^{-7}=898{,}755{,}179{,}23\times10^{-3}\approx 898{,}75517923.
(para facilitar: kq\approx 898{,}75517923). Agora calculemos os recíprocos:
\frac{1}{1}=1,\qquad \frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}7071067812,\qquad \frac{1}{\sqrt{5}}\approx 0{,}4472135955.
Soma interna:
1+0{,}7071067812+0{,}4472135955\approx 2{,}1543203767.
Multiplicando por kq:
V(0,1)\approx 898{,}75517923\times 2{,}1543203767 \approx 1\,936{,}21\\ \mathrm{V}.
Portanto o potencial no ponto (0,1\\ \mathrm{m}) é aproximadamente 1{,}936{,}21\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Relação entre potencial e campo elétrico (aula curta).
O campo elétrico \mathbf{E} e o potencial escalar V estão relacionados por
\mathbf{E}=-\nabla V,
ou seja, o campo é o negativo do gradiente do potencial. Em coordenadas cartesianas isso dá as componentes
E_x=-\frac{\partial V}{\partial x},\qquad E_y=-\frac{\partial V}{\partial y}.
Vamos diferenciar a expressão do passo 2. Para uma contribuição V_i=kq/r_i com r_i=\sqrt{(x-x_i)^2+y^2}, usamos a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{1}{r_i}\right)=-\frac{x-x_i}{r_i^3},\qquad \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{1}{r_i}\right)=-\frac{y}{r_i^3}.
Multiplicando por kq e lembrando do sinal negativo em \mathbf{E}=-\nabla V, obtemos as fórmulas compactas (essas fórmulas são equivalentes à soma vetorial das contribuições de cada carga usando a lei de Coulomb):
E_x(x,y)=kq\sum_{i=0}^{2}\frac{x-x_i}{r_i^3},
E_y(x,y)=kq\sum_{i=0}^{2}\frac{y}{r_i^3},
onde x_0=0,\;x_1=1,\;x_2=2 e r_i=\sqrt{(x-x_i)^2+y^2}. Observação: como todas as cargas estão sobre y=0, temos (y-y_i)=(y-0)=y nas parcelas do E_y.

Passo 5

Avaliação numérica das componentes do campo em (0,1\\ \mathrm{m}). Já temos r_0=1,\;r_1=\sqrt{2},\;r_2=\sqrt{5}. Calculamos r_i^3:
r_0^3=1^3=1,
r_1^3=(\sqrt{2})^3=2\sqrt{2}\approx 2{,}8284271247,
r_2^3=(\sqrt{5})^3=5\sqrt{5}\approx 11{,}1803398875.
Agora cada soma para E_x e E_y no ponto (x=0,y=1):
  • Para E_x:
\sum_{i=0}^2\frac{x-x_i}{r_i^3}=\frac{0-0}{1}+\frac{0-1}{( \sqrt{2})^3}+\frac{0-2}{(\sqrt{5})^3} =0-\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{2}{5\sqrt{5}}.
Numericamente:
-\frac{1}{2\sqrt{2}}\approx -0{,}3535533906,\qquad -\frac{2}{5\sqrt{5}}\approx -0{,}1788854382.
Soma:
\sum_{i}\frac{x-x_i}{r_i^3}\approx -0{,}5324388288.
Multiplicando por kq\approx 898{,}75517923:
E_x(0,1)\approx 898{,}75517923\times(-0{,}5324388288)\approx -478{,}53\\ \mathrm{N/C}.
  • Para E_y:
\sum_{i=0}^2\frac{y}{r_i^3}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{5\sqrt{5}} \approx 1+0{,}3535533906+0{,}0894427191\approx 1{,}4429961097.
Multiplicando por kq:
E_y(0,1)\approx 898{,}75517923\times 1{,}4429961097\approx 1\,296{,}88\\ \mathrm{N/C}.
Portanto o vetor campo no ponto é aproximadamente
\mathbf{E}(0,1)\approx (-478{,}53\,\hat{\mathbf{i}} + 1\,296{,}88\,\hat{\mathbf{j}})\\ \mathrm{N/C}.

Passo 6

Intensidade (magnitude) do campo e direção (como complemento útil para a prova).
A magnitude é
|\mathbf{E}|=\sqrt{E_x^2+E_y^2}\approx \sqrt{(-478{,}53)^2+(1\,296{,}88)^2}\approx 1\,381{,}6\\ \mathrm{N/C}.
Direção em relação ao eixo x pode ser dada por \theta=\operatorname{atan2}(E_y,E_x). Como E_x<0 e E_y>0, o ângulo está no segundo quadrante:
\theta\approx 110{,}3^\circ\\ \text{(medido a partir do eixo positivo \(x\) no sentido anti-horário).}á

Resposta

V(0,1\\ \mathrm{m})\approx 1936{,}21\\ \mathrm{V}
|\mathbf{E}(0,1\\ \mathrm{m})|\approx 1381{,}6\\ \mathrm{N/C}

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