Três cargas, cada qual com
estão localizadas sobre o eixo
em
.
a) Calcule o potencial em (
).
b) Calcule a intensidade de campo elétrico em (
). Dica: Obtenha primeiro a expressão para o potencial em termos de coordenadas genéricas no ponto
.
a) Calcule o potencial em (
b) Calcule a intensidade de campo elétrico em (
Passo 1
O enunciado dá três cargas puntiformes iguais
localizadas sobre o eixo
nos pontos
e
(todas em
). Pede-se:
a) o potencial elétrico no ponto ;
b) a intensidade do campo elétrico no ponto .
Informações relevantes extraídas do enunciado: as três cargas têm o mesmo valor , e suas coordenadas são
. O ponto onde queremos o potencial e o campo é
. O enunciado sugere primeiro obter a expressão do potencial
genérico no ponto
.
a) o potencial elétrico no ponto
b) a intensidade do campo elétrico no ponto
Informações relevantes extraídas do enunciado: as três cargas têm o mesmo valor
Passo 2
Fórmula e princípio que vamos usar (explicação didática).
- Potencial de uma carga puntiforme: a contribuição ao potencial no ponto
de uma carga situada a uma distância é
onde
é a constante eletrostática (
é a permissividade do vácuo). Aqui
é a carga (em coulombs) e
é a distância do ponto
até a carga (em metros). O potencial é escalar e obedece ao princípio da superposição: o potencial total é a soma das contribuições de cada carga.
- Distâncias: se uma carga está em
e o ponto está em , a distância é
Aplicando isso ao nosso caso com três cargas idênticas
em
, obtemos a expressão genérica para o potencial em
:
Essa expressão é simplesmente a soma das três frações
, cada uma com seu respectivo
.
Passo 3
Calcular o potencial no ponto pedido
. Primeiro calculamos as distâncias
do ponto
até cada carga:
Substituindo na fórmula do passo anterior:
Agora valores numéricos: usamos
e
, então
(para facilitar:
). Agora calculemos os recíprocos:
Soma interna:
Multiplicando por
:
Portanto o potencial no ponto
é aproximadamente
.
Passo 4
Relação entre potencial e campo elétrico (aula curta).
O campo elétrico e o potencial escalar
estão relacionados por
O campo elétrico
ou seja, o campo é o negativo do gradiente do potencial. Em coordenadas cartesianas isso dá as componentes
Vamos diferenciar a expressão do passo 2. Para uma contribuição
com
, usamos a regra da cadeia:
Multiplicando por
e lembrando do sinal negativo em
, obtemos as fórmulas compactas (essas fórmulas são equivalentes à soma vetorial das contribuições de cada carga usando a lei de Coulomb):
onde
e
. Observação: como todas as cargas estão sobre
, temos
nas parcelas do
.
Passo 5
Avaliação numérica das componentes do campo em
. Já temos
. Calculamos
:
Agora cada soma para
e
no ponto
:
- Para
:
Numericamente:
Soma:
Multiplicando por
:
- Para
:
Multiplicando por
:
Portanto o vetor campo no ponto é aproximadamente
Passo 6
Intensidade (magnitude) do campo e direção (como complemento útil para a prova).
A magnitude é
A magnitude é
Direção em relação ao eixo
pode ser dada por
. Como
e
, o ângulo está no segundo quadrante: