O potencial elétrico de um disco de raio R com uma distribuição superficial de cargas uniforme é dado por:
V(x)=sigma x2 varepsilono[raiz1+R^2x^2-1]
Determine a expressão do vetor campo elétrico nos pontos situados sobre o eixo de simetria ortogonal ao plano do disco.
Solução

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o potencial elétrico ao longo do eixo de um disco carregado uniformemente é
V(x)=sigma x2varepsilon0l[raiz1+R^2x^2-1r]
A gente quer achar o campo elétrico E(x) = -nabla V(x) nesse mesmo eixo.
Conteúdo: eletrostática, mais especificamente usar que
Como o potencial só depende de , fica .
Precisamos, então, calcular a derivada de em relação a , usando regra do produto e cadeia.

Passo 2

Escrevendo a definição em 1D:
Ex(x) = -dVdx
e a direção é ao longo de dVdx . Então vamos achar
para daí multiplicar por .

Passo 3

Para facilitar, note que
V(x)=sigma2varepsilon0l[x,f(x)-xr], f(x)=raiz1+R^2x^2
Então
dVdx =sigma2varepsilon0l[ddx(x,f(x))-ddx(x)r] =sigma2varepsilon0l[f(x)+x,f'(x)-1r]
Agora calcule f(x)=l(1+R^2/x^2r)^1/2 ;longrightarrow; f'(x)=12l(1+R^2/x^2r)^-1/2cdotl(-2R^2/x^3r) =-R^2x^3,raiz1+R^2/x^2 :
x,f'(x) =-R^2x^2,raiz1+R^2/x^2
Logo
raiz1+R^2x^2 ;-;1 ;-;R^2x^2,raiz1+R^2/x^2 =1raiz1+R^2/x^2-1
Substituindo em dVdx =sigma2varepsilon0l[1raiz1+R^2/x^2-1r] :
Portanto

Passo 4

Agora o campo é
Ex(x)=-dVdx =sigma2varepsilon0l[1-1raiz1+R^2/x^2r]
Finalmente, note que
Ex(x) =sigma2varepsilon0l[1-xraizx^2+R^2r]
(se ). Assim

Resposta

boxed E(x) =sigma2varepsilon0,l[1-xraizx^2+R^2r]; x

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