(2,5) O potencial elétrico ao longo do eixo de um anel de raio R, carregado com uma carga q, tem um valor máximo (com relação ao infinito) dado por V_{0} \mathrm{em} z=0. Determine o ponto ao longo do eixo z (em funçāo de R ) para o qual o potencial gerado pelo anel assume o valor \frac{V_{0}}{2}.

Passo 1

O enunciado dá um anel de raio R com carga total q. Pergunta-se: qual o(s) ponto(s) sobre o eixo z (em função de R) onde o potencial elétrico gerado pelo anel vale \dfrac{V_{0}}{2}, sabendo que o potencial tem valor máximo \,V_{0} em z=0 (comparado ao potencial no infinito).
Informações relevantes dadas:
  • Raio do anel: R.
  • Carga total do anel: q.
  • Potencial no centro do anel (no ponto z=0) é V_{0}.
  • Queremos os pontos z ao longo do eixo onde V(z)=\dfrac{V_{0}}{2}.

Passo 2

Vamos escrever a expressão do potencial ao longo do eixo do anel e explicar de onde ela vem.
Conceito usado: potencial por superposição. Um elemento de carga dq localizado no anel produz em um ponto P do eixo uma contribuição de potencial dV dada por
dV = k\,\frac{dq}{r},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante elétrica e r é a distância entre dq e P.
No eixo do anel, todo elemento dq está à mesma distância do ponto (0,0,z). Essa distância é
r=\sqrt{R^{2}+z^{2}}.
Como todos os dq contribuem com a mesma quantidade k\,dq/r, a soma/integral ao longo do anel dá simplesmente
V(z)=k\,\frac{q}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}.
Aqui V(z) é o potencial em um ponto sobre o eixo a uma coordenada z. Explico as variáveis:
  • k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} (constante),
  • q é a carga total,
  • R é o raio do anel,
  • z é a posição no eixo onde se calcula o potencial.

Passo 3

Agora usemos a informação V_{0}=V(0). Substituindo z=0 em V(z) obtemos
V_{0}=V(0)=k\,\frac{q}{\sqrt{R^{2}+0^{2}}}=k\,\frac{q}{R}.
Queremos z tal que V(z)=\dfrac{V_{0}}{2}. Escrevendo isso com a fórmula:
k\,\frac{q}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}=\frac{1}{2}\,V_{0}.
Substituindo V_{0}=k\,\dfrac{q}{R} na equação:
k\,\frac{q}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}=\frac{1}{2}\left(k\,\frac{q}{R}\right).

Passo 4

Simplificamos a equação: k e q aparecem em ambos os lados e são diferentes de zero, então podemos cancelar kq:
\frac{1}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{R}.
Invertendo ambos os lados:
\sqrt{R^{2}+z^{2}}=2R.
Agora elevamos ao quadrado:
R^{2}+z^{2}=4R^{2}.
Isolando z^{2}:
z^{2}=4R^{2}-R^{2}=3R^{2}.

Passo 5

Tirando a raiz quadrada (lembrando que podem existir pontos positivos e negativos simetricamente ao longo do eixo):
z=\pm\sqrt{3}\,R.
Intuição rápida: o potencial do anel ao longo do eixo tem a forma kq/distância (onde a “distância” é \sqrt{R^{2}+z^{2}}). No centro a distância vale R, então para a potencial cair à metade basta duplicar essa distância (porque 1/d passa a ser metade se d dobra): \sqrt{R^{2}+z^{2}}=2R, que leva a z=\pm\sqrt{3}R. Tudo consistente.

Resposta

\displaystyle z=\sqrt{3}\,R
\displaystyle z=-\sqrt{3}\,R

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