O potencial elétrico ao longo do eixo de um anel de raio
, carregado com uma carga
, tem um valor máximo (com relação ao infinito) dado por
. Determine o ponto ao longo do eixo
(em funçāo de
) para o qual o potencial gerado pelo anel assume o valor
.
Passo 1
O enunciado dá um anel de raio
com carga total
. Pergunta-se: qual o(s) ponto(s) sobre o eixo
(em função de
) onde o potencial elétrico gerado pelo anel vale
, sabendo que o potencial tem valor máximo
em
(comparado ao potencial no infinito).
Informações relevantes dadas:
- Raio do anel:
. - Carga total do anel:
. - Potencial no centro do anel (no ponto
) é . - Queremos os pontos
ao longo do eixo onde .
Passo 2
Vamos escrever a expressão do potencial ao longo do eixo do anel e explicar de onde ela vem.
Conceito usado: potencial por superposição. Um elemento de carga
localizado no anel produz em um ponto
do eixo uma contribuição de potencial
dada por
onde
é a constante elétrica e
é a distância entre
e
.
No eixo do anel, todo elemento
está à mesma distância do ponto
. Essa distância é
Como todos os
contribuem com a mesma quantidade
, a soma/integral ao longo do anel dá simplesmente
Aqui
é o potencial em um ponto sobre o eixo a uma coordenada
. Explico as variáveis:
-
(constante), -
é a carga total, -
é o raio do anel, -
é a posição no eixo onde se calcula o potencial.
Passo 3
Agora usemos a informação
. Substituindo
em
obtemos
Queremos
tal que
. Escrevendo isso com a fórmula:
Substituindo
na equação:
Passo 4
Simplificamos a equação:
e
aparecem em ambos os lados e são diferentes de zero, então podemos cancelar
:
Invertendo ambos os lados:
Agora elevamos ao quadrado:
Isolando
:
Passo 5
Tirando a raiz quadrada (lembrando que podem existir pontos positivos e negativos simetricamente ao longo do eixo):
Intuição rápida: o potencial do anel ao longo do eixo tem a forma
distância (onde a “distância” é
). No centro a distância vale
, então para a potencial cair à metade basta duplicar essa distância (porque
passa a ser metade se
dobra):
, que leva a
. Tudo consistente.