10.33 - (a) Calcule o torque desenvolvido por um motor industrial com potência de 150 kW para uma velocidade angular de 4.000 \mathrm{rot} / \mathrm{min}. (b) Um tambor de massa desprezível, com diâmetro igual a 0,400 \mathrm{~m}, é ligado ao eixo do motor e a potência disponível do motor é usada para elevar um peso pendurado em uma corda enrolada em torno do tambor. Qual é o peso máximo que pode ser elevado com velocidade constante? (c) Com que velocidade constante o peso sobe?
10.34 • A hélice propulsora de um avião possui comprimento de 2,08 \mathrm{~m} (de uma extremidade a outra) e sua massa é de 117 kg . Logo no início do funcionamento do motor, ele aplica um torque de 1.950 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} na hélice, que começa a se mover a partir do repouso. (a) Qual é a aceleração angular da hélice? Considere a hélice como uma barra fina e veja a Tabela 9.2. (b) Qual é a velocidade angular da hélice propulsora quando ela atinge 5,00 rot? (c) Qual é o trabalho realizado pelo motor durante as 5,00 rot iniciais? (d) Qual é a potência média fornecida pela máquina durante as 5,00 rot iniciais? (e) Qual é a potência instantânea do motor no instante em que a hélice propulsora completa essas 5,00 rot?

Passo 1

Vou listar claramente o que cada enunciado dá e o que pede.
Para o exercício 10.33:
  • Dados que peguei do enunciado:
    • Potência do motor: P=150\\ \text{kW}=150000\\ \text{W}.
    • Velocidade angular dada como 4000\\ \mathrm{rot/min}.
    • Diâmetro do tambor: D=0,400\\ \text{m} (portanto raio r=D/2).
  • Perguntas:
    (a) Calcular o torque desenvolvido pelo motor.
    (b) Um tambor com massa desprezível e diâmetro 0,400\\ \text{m} é ligado ao eixo; usando a potência do motor para elevar um peso preso por uma corda enrolada no tambor, qual é o peso máximo que pode ser elevado com velocidade constante?
    (c) Com que velocidade constante o peso sobe?
Para o exercício 10.34:
  • Dados que peguei do enunciado:
    • Hélice considerada como barra fina de comprimento total L=2{,}08\\ \text{m} (de uma extremidade à outra).
    • Massa da hélice: m=117\\ \text{kg}.
    • Torque aplicado pelo motor: \tau=1{,}950\\ \text{N}\cdot\text{m}.
    • Parte inicial do movimento: começa do repouso e atinge 5{,}00 rotações.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a aceleração angular inicial \alpha? (usar momento de inércia de barra fina)
    (b) Qual é a velocidade angular quando completar 5{,}00 rotações?
    (c) Qual é o trabalho realizado pelo motor durante as 5{,}00 rotações iniciais?
    (d) Qual é a potência média fornecida pela máquina durante essas 5{,}00 rotações?
    (e) Qual é a potência instantânea do motor no instante em que a hélice completa essas 5{,}00 rotações?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de modo simples):
  • Potência e torque em movimento rotacional: a potência instantânea entregue por um torque \tau a uma máquina que roda com velocidade angular \omega é
P=\tau\,\omega.
Aqui \tau é torque em \text{N}\cdot\text{m}, \omega é velocidade angular em \text{rad/s} e P é potência em \text{W}.
  • Conversão de rotações por minuto para radianos por segundo:
\omega = 2\pi\left(\dfrac{\text{rot/min}}{60}\right).
Explicação: uma rotação = 2\pi rad; dividir por 60 converte minutos para segundos.
  • Quando um tambor de raio r põe tensão F na corda, o torque necessário é \tau = F\,r. Para velocidade constante (nenhuma aceleração linear ou angular), a força de tração iguala o peso (força peso) e o torque do motor é equilibrado por essa força multiplicada por r.
  • Momento de inércia de uma barra fina (comprimento L, massa m) girando em torno de um eixo perpendicular passando pelo centro:
I = \dfrac{1}{12}mL^{2}.
  • Relação entre torque e aceleração angular (equivalente rotacional de Newton): \tau = I\,\alpha, onde \alpha é a aceleração angular.
  • Cinemática rotacional com aceleração angular constante (partindo do repouso):
\theta = \tfrac{1}{2}\alpha t^{2},\qquad \omega^{2}=2\alpha\theta,\qquad \omega=\alpha t,
onde \theta é deslocamento angular em radianos, t é tempo, \omega velocidade angular final.
  • Energia cinética rotacional: K=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}. Trabalho realizado pelo torque que acelerou é a variação dessa energia.
  • Potência média numa transformação que levou tempo t: P_{\text{média}} = \dfrac{W}{t}é.

Passo 3

Resolver (a): torque a partir de potência e velocidade angular.
  1. Converter a velocidade \,4000\\ \mathrm{rot/min}\, para rad/s:
\omega = 2\pi\left(\dfrac{4000}{60}\right)=2\pi\cdot\left(\dfrac{4000}{60}\right).
Calcule passo a passo: \dfrac{4000}{60}=66{,}666\ldots\\ \text{rot/s}. Então
\omega = 2\pi\times66{,}666\ldots = 133{,}333\ldots\pi\\ \text{rad/s}\approx418{,}879\\ \text{rad/s}.
  1. Usar P=\tau\omega para encontrar \tau:
\tau=\dfrac{P}{\omega}=\dfrac{150000}{418{,}879\\ \text{(aprox.)}}.
Fazendo a divisão:
\tau\approx358{,}1\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 4

Resolver (b): peso máximo que pode ser elevado com velocidade constante.
  1. Raio do tambor:
r=\dfrac{D}{2}=\dfrac{0{,}400}{2}=0{,}200\\ \text{m}.
  1. Para velocidade constante, torque do motor é equilibrado pelo torque devido à força de tração F (igual ao peso W se sobe verticalmente com velocidade constante). Logo:
\tau = F\,r \quad\Rightarrow\quad F=\dfrac{\tau}{r}.
Substituindo:
F=\dfrac{358{,}1}{0{,}2}=1790{,}5\\ \text{N}.
  1. Interpretação: F é a força de tração na corda; se for igual ao peso, então o peso máximo (força peso) que pode ser elevado em velocidade constante é
W_{\max}\approx1790{,}5\\ \text{N}.
Se quiser o valor em massa equivalente (m=W/g), com g\approx9{,}8\\ \text{m/s}^{2},
m\approx\dfrac{1790{,}5}{9{,}8}\approx182{,}9\\ \text{kg}.
(Em muitos enunciados “peso” refere-se à força em newtons; deixei ambos os formatos.)

Passo 5

Resolver (c): velocidade constante com que o peso sobe.
  1. A potência do motor, em regime estacionário de subida, é usada para vencer o peso a velocidade v:
P = W\,v \quad\Rightarrow\quad v=\dfrac{P}{W}.
Usando W=W_{\max}=1790{,}5\\ \text{N} e P=150000\\ \text{W},
v=\dfrac{150000}{1790{,}5}\approx83{,}7758\\ \text{m/s}.
  1. Conferência (alternativa): v=\omega\,r. Com \omega\approx418{,}879\\ \text{rad/s} e r=0{,}2\\ \text{m},
v=\omega r\approx418{,}879\times0{,}2\approx83{,}776\\ \text{m/s},
mesmo resultado, consistente.

Passo 6

Agora resolvemos o exercício 10.34. Vamos aplicar as fórmulas de momento de inércia, torque-aceleração, energia rotacional e cinemática rotacional conforme explicado antes.

Passo 7

Calcular a aceleração angular inicial \alpha.
  1. Momento de inércia I da barra fina (hélice) girando em torno do centro:
I=\dfrac{1}{12}mL^{2}=\dfrac{1}{12}\times117\times(2{,}08)^{2}.
Calcule L^{2}: (2{,}08)^{2}=4{,}3264. Então
I=\dfrac{1}{12}\times117\times4{,}3264=\dfrac{506{,}1888}{12}=42{,}1824\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}.
  1. Relação entre torque e aceleração angular:
\tau=I\alpha \quad\Rightarrow\quad \alpha=\dfrac{\tau}{I}.
Substituindo \tau=1950\\ \text{N}\cdot\text{m} e I=42{,}1824\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2},
\alpha=\dfrac{1950}{42{,}1824}\approx46{,}32\\ \text{rad/s}^{2}.

Passo 8

Calcular a velocidade angular \omega após 5{,}00 rotações.
  1. Converter 5{,}00 rotações para radianos:
\theta = 5{,}00\times 2\pi =10\pi\\ \text{rad}\approx31{,}4159\\ \text{rad}.
  1. Usar a fórmula \omega^{2}=2\alpha\theta (partindo do repouso):
\omega=\sqrt{2\alpha\theta}=\sqrt{2\times46{,}3229\times10\pi}.
Fazendo a conta:
\omega\approx53{,}94\\ \text{rad/s}.
  1. Valores equivalentes:
  • Em rotações por segundo: \dfrac{\omega}{2\pi}\approx8{,}58\\ \text{rot/s}.
  • Em rpm: 8{,}58\times60\approx515\\ \text{rpm}.

Passo 9

Calcular o trabalho realizado pelo motor durante as 5{,}00 rotações iniciais.
  1. O trabalho realizado para acelerar a hélice é igual à energia cinética rotacional adquirida:
W=\Delta K = \tfrac{1}{2}I\omega^{2}.
  1. Substituindo I=42{,}1824\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2} e \omega\approx53{,}94\\ \text{rad/s}:
W\approx\tfrac{1}{2}\times42{,}1824\times(53{,}94)^{2}\approx6{,}14\times10^{4}\\ \text{J}.

Passo 10

Calcular a potência média durante as 5{,}00 rotações.
  1. Tempo necessário para as 5{,}00 rotações (partindo do repouso) a aceleração angular constante:
\theta=\tfrac{1}{2}\alpha t^{2}\quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{\dfrac{2\theta}{\alpha}}=\sqrt{\dfrac{2\times10\pi}{46{,}3229}}.
Fazendo a conta,
t\approx1{,}165\\ \text{s}.
  1. Potência média:
P_{\text{média}}=\dfrac{W}{t}\approx\dfrac{6{,}1389\times10^{4}}{1{,}165}\approx5{,}26\times10^{4}\\ \text{W}\approx52{,}6\\ \text{kW}.é
Comentário curto (intuição): como a potência instantânea cresce linearmente de zero até \tau\omega final com torque constante, a potência média é aproximadamente metade da potência instantânea final, ou seja P_{\text{média}}\approx\tfrac{1}{2}\tau\omegaé, que dá o mesmo resultado.

Passo 11

Calcular a potência instantânea no instante em que completa as 5{,}00 rotações.
  1. Potência instantânea quando a velocidade angular é \omega:
P_{\text{inst}}=\tau\,\omega.
Substituindo \tau=1950\\ \text{N}\cdot\text{m} e \omega\approx53{,}94\\ \text{rad/s},
P_{\text{inst}}\approx1950\times53{,}94\approx1{,}05\times10^{5}\\ \text{W}\approx105{,}2\\ \text{kW}.

Resposta

10.33 (a) \tau\approx358{,}1\\ \text{N}\cdot\text{m}
10.33 (b) W_{\max}\approx1790{,}5\\ \text{N} \;(m\approx182{,}9\\ \text{kg})
10.33 (c) v\approx83{,}78\\ \text{m/s}
10.34 (a) \alpha\approx46{,}32\\ \text{rad/s}^{2}
10.34 (b) \omega\approx53{,}94\\ \text{rad/s} \;( \approx8{,}58\\ \text{rot/s}\approx515\\ \text{rpm})
10.34 (c) W\approx6{,}14\times10^{4}\\ \text{J}
10.34 (d) P_{\text{média}}\approx5{,}26\times10^{4}\\ \text{W}é
10.34 (e) P_{\text{inst}}\approx1{,}05\times10^{5}\\ \text{W}

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