10.33 - (a) Calcule o torque desenvolvido por um motor industrial com potência de 150 kW para uma velocidade angular de
. (b) Um tambor de massa desprezível, com diâmetro igual a
, é ligado ao eixo do motor e a potência disponível do motor é usada para elevar um peso pendurado em uma corda enrolada em torno do tambor. Qual é o peso máximo que pode ser elevado com velocidade constante? (c) Com que velocidade constante o peso sobe?
10.34 • A hélice propulsora de um avião possui comprimento de
(de uma extremidade a outra) e sua massa é de 117 kg . Logo no início do funcionamento do motor, ele aplica um torque de
na hélice, que começa a se mover a partir do repouso. (a) Qual é a aceleração angular da hélice? Considere a hélice como uma barra fina e veja a Tabela 9.2. (b) Qual é a velocidade angular da hélice propulsora quando ela atinge 5,00 rot? (c) Qual é o trabalho realizado pelo motor durante as 5,00 rot iniciais? (d) Qual é a potência média fornecida pela máquina durante as 5,00 rot iniciais? (e) Qual é a potência instantânea do motor no instante em que a hélice propulsora completa essas 5,00 rot?
10.34 • A hélice propulsora de um avião possui comprimento de
Passo 1
Vou listar claramente o que cada enunciado dá e o que pede.
Para o exercício 10.33:
- Dados que peguei do enunciado:
- Potência do motor:
. - Velocidade angular dada como
. - Diâmetro do tambor:
(portanto raio ).
- Potência do motor:
- Perguntas:
(a) Calcular o torque desenvolvido pelo motor.
(b) Um tambor com massa desprezível e diâmetroé ligado ao eixo; usando a potência do motor para elevar um peso preso por uma corda enrolada no tambor, qual é o peso máximo que pode ser elevado com velocidade constante?
(c) Com que velocidade constante o peso sobe?
Para o exercício 10.34:
- Dados que peguei do enunciado:
- Hélice considerada como barra fina de comprimento total
(de uma extremidade à outra). - Massa da hélice:
. - Torque aplicado pelo motor:
. - Parte inicial do movimento: começa do repouso e atinge
rotações.
- Hélice considerada como barra fina de comprimento total
- Perguntas:
(a) Qual é a aceleração angular inicial? (usar momento de inércia de barra fina)
(b) Qual é a velocidade angular quando completarrotações?
(c) Qual é o trabalho realizado pelo motor durante asrotações iniciais?
(d) Qual é a potência média fornecida pela máquina durante essasrotações?
(e) Qual é a potência instantânea do motor no instante em que a hélice completa essasrotações?
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de modo simples):
- Potência e torque em movimento rotacional: a potência instantânea entregue por um torque
a uma máquina que roda com velocidade angular é
Aqui
é torque em
,
é velocidade angular em
e
é potência em
.
- Conversão de rotações por minuto para radianos por segundo:
Explicação: uma rotação =
rad; dividir por
converte minutos para segundos.
- Quando um tambor de raio
põe tensão na corda, o torque necessário é . Para velocidade constante (nenhuma aceleração linear ou angular), a força de tração iguala o peso (força peso) e o torque do motor é equilibrado por essa força multiplicada por . - Momento de inércia de uma barra fina (comprimento
, massa ) girando em torno de um eixo perpendicular passando pelo centro:
- Relação entre torque e aceleração angular (equivalente rotacional de Newton):
, onde é a aceleração angular. - Cinemática rotacional com aceleração angular constante (partindo do repouso):
onde
é deslocamento angular em radianos,
é tempo,
velocidade angular final.
- Energia cinética rotacional:
. Trabalho realizado pelo torque que acelerou é a variação dessa energia. - Potência média numa transformação que levou tempo
: .
Passo 3
Resolver (a): torque a partir de potência e velocidade angular.
- Converter a velocidade
para rad/s:
Calcule passo a passo:
. Então
- Usar
para encontrar :
Fazendo a divisão:
Passo 4
Resolver (b): peso máximo que pode ser elevado com velocidade constante.
- Raio do tambor:
- Para velocidade constante, torque do motor é equilibrado pelo torque devido à força de tração
(igual ao peso se sobe verticalmente com velocidade constante). Logo:
Substituindo:
- Interpretação:
é a força de tração na corda; se for igual ao peso, então o peso máximo (força peso) que pode ser elevado em velocidade constante é
Se quiser o valor em massa equivalente
, com
,
(Em muitos enunciados “peso” refere-se à força em newtons; deixei ambos os formatos.)
Passo 5
Resolver (c): velocidade constante com que o peso sobe.
- A potência do motor, em regime estacionário de subida, é usada para vencer o peso a velocidade
:
Usando
e
,
- Conferência (alternativa):
. Com e ,
mesmo resultado, consistente.
Passo 6
Agora resolvemos o exercício 10.34. Vamos aplicar as fórmulas de momento de inércia, torque-aceleração, energia rotacional e cinemática rotacional conforme explicado antes.
Passo 7
Calcular a aceleração angular inicial
.
- Momento de inércia
da barra fina (hélice) girando em torno do centro:
Calcule
:
. Então
- Relação entre torque e aceleração angular:
Substituindo
e
,
Passo 8
Calcular a velocidade angular
após
rotações.
- Converter
rotações para radianos:
- Usar a fórmula
(partindo do repouso):
Fazendo a conta:
- Valores equivalentes:
- Em rotações por segundo:
- Em rpm:
Passo 9
Calcular o trabalho realizado pelo motor durante as
rotações iniciais.
- O trabalho realizado para acelerar a hélice é igual à energia cinética rotacional adquirida:
- Substituindo
e :
Passo 10
Calcular a potência média durante as
rotações.
- Tempo necessário para as
rotações (partindo do repouso) a aceleração angular constante:
Fazendo a conta,
- Potência média:
Comentário curto (intuição): como a potência instantânea cresce linearmente de zero até
final com torque constante, a potência média é aproximadamente metade da potência instantânea final, ou seja
, que dá o mesmo resultado.
Passo 11
Calcular a potência instantânea no instante em que completa as
rotações.
- Potência instantânea quando a velocidade angular é
:
Substituindo
e
,
Resposta
10.33 (a)
10.33 (b)
10.33 (c)
10.33 (b)
10.33 (c)
10.34 (a)
10.34 (b)
10.34 (c)
10.34 (d)
10.34 (e)
10.34 (b)
10.34 (c)
10.34 (d)
10.34 (e)