Uma mulher com massa de 50 kg está em pé sobre a periferia de um grande disco que gira com 0,80 rot/s em torno de um eixo que passa através de seu centro. O disco possui massa de 110 kg e raio igual a 4,0 \mathrm{~m}. Calcule o módulo do momento angular total do sistema mulher-disco. (Suponha que a mulher possa ser tratada como um ponto.)
Ache o módulo do momento angular do ponteiro dos segundos de um relógio em torno do eixo que passa pelo centro de massa da face frontal do relógio. Esse ponteiro possui comprimento de 15,0 \mathrm{~cm} e massa de 6,00 \mathrm{~g}. Considere-o uma barra delgada girando com velocidade angular constante em torno de uma de suas extremidades.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
Parte (a) — mulher + disco:
  • Pergunta: calcular o módulo do momento angular total do sistema mulher-disco.
  • Dados:
    • massa da mulher: m_{\text{mulher}}=50\\ \mathrm{kg}.
    • massa do disco: M_{\text{disco}}=110\\ \mathrm{kg}.
    • raio do disco (distância da mulher ao eixo): R=4{,}0\\ \mathrm{m}.
    • frequência de rotação: f=0{,}80\\ \mathrm{rot/s}.
  • Observação dada no enunciado: tratar a mulher como um ponto (ou seja, momento de inércia dela em relação ao eixo é mR^2).
Parte (b) — ponteiro dos segundos:
  • Pergunta: achar o módulo do momento angular do ponteiro dos segundos em torno do eixo que passa pelo centro da face frontal (pivô).
  • Dados:
    • comprimento do ponteiro: L_p=15{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}150\\ \mathrm{m}.
    • massa do ponteiro: m_p=6{,}00\\ \mathrm{g}=0{,}00600\\ \mathrm{kg}.
    • o ponteiro pode ser considerado uma barra delgada girando em torno de uma de suas extremidades (pivô) com velocidade angular constante (uma volta a cada 60 s).

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicação didática e passo a passo).
  • Momento angular de um corpo rígido que gira com velocidade angular \omega em torno de um eixo fixo: L=I\,\omega,
onde:
  • L é o módulo do momento angular (unidade \mathrm{kg\;m^2/s}),
  • I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo (unidade \mathrm{kg\;m^2}),
  • \omega é a velocidade angular (unidade \mathrm{rad/s}).
  • Relação entre frequência de rotação f (em rotações por segundo) e velocidade angular \omega: \omega=2\pi f.
Explicação: uma rotação completa corresponde a 2\pi radianos; se ocorrem f rotações por segundo, em rad/s são 2\pi f.
  • Momentos de inércia que usaremos:
    • disco maciço de raio R girando em torno de seu eixo central: I_{\text{disco}}=\tfrac{1}{2} M R^{2},onde M é a massa do disco.
    • partícula pontual (a mulher, tratada como ponto) a distância R do eixo: I_{\text{mulher}}=m_{\text{mulher}} R^{2}.
    • barra delgada de comprimento L_p e massa m_p girando em torno de uma extremidade (pivô): I_{\text{barra, extremidade}}=\tfrac{1}{3} m_p L_p^{2}.
Explicação rápida: I mede “resistência” à mudança de rotação; fórmulas acima são resultados padrão que aparecem em tabelas de momentos de inércia para formas simples.

Passo 3

Calcular o momento de inércia do disco e da mulher (parte a).
  • Momento de inércia do disco:
    I_{\text{disco}}=\tfrac{1}{2}M R^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot110\cdot(4{,}0)^{2}.
    Calcule (4{,}0)^{2}=16. Então
    I_{\text{disco}}=\tfrac{1}{2}\cdot110\cdot16=55\cdot16=880\\ \mathrm{kg\,m^{2}}.
  • Momento de inércia da mulher (como partícula a R do eixo):
    I_{\text{mulher}}=m_{\text{mulher}}R^{2}=50\cdot(4{,}0)^{2}=50\cdot16=800\\ \mathrm{kg\,m^{2}}.
  • Momento de inércia total do sistema mulher+disco:
    I_{\text{total}}=I_{\text{disco}}+I_{\text{mulher}}=880+800=1680\\ \mathrm{kg\,m^{2}}.

Passo 4

Calcular a velocidade angular \omega e o momento angular total (parte a).
  • Velocidade angular a partir da frequência f=0{,}80\\ \mathrm{rot/s}:
    \omega=2\pi f=2\pi\cdot0{,}80=1{,}6\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Momento angular total:
    L_{\text{total}}=I_{\text{total}}\,\omega=1680\cdot(1{,}6\pi)=2688\pi\\ \mathrm{kg\,m^{2}/s}.
    Avaliando numericamente (usar \pi\approx3{,}1416):
    L_{\text{total}}\approx2688\cdot3{,}1416\approx8445\\ \mathrm{kg\,m^{2}/s}.
    Em notação com três algarismos significativos:
    L_{\text{total}}\approx8{,}44\times10^{3}\\ \mathrm{kg\,m^{2}/s}.

Passo 5

Momento de inércia do ponteiro (barra delgada girando em torno de uma extremidade) — parte (b).
  • Aplicar a fórmula para barra em torno de extremidade: I_{\text{ponteiro}}=\tfrac{1}{3}m_p L_p^{2}=\tfrac{1}{3}\cdot0{,}00600\cdot(0{,}150)^{2}.Calcule (0{,}150)^{2}=0{,}0225. Então I_{\text{ponteiro}}=\tfrac{1}{3}\cdot0{,}00600\cdot0{,}0225=\tfrac{1}{3}\cdot0{,}000135=0{,}000045\\ \mathrm{kg\,m^{2}}.

Passo 6

Velocidade angular do ponteiro e momento angular (parte b).
  • O ponteiro dá uma volta completa em 60\\ \mathrm{s}, então a frequência é f_{\text{ponteiro}}=\dfrac{1}{60}\\ \mathrm{Hz}. Assim
    \omega_{\text{ponteiro}}=2\pi f_{\text{ponteiro}}=2\pi\cdot\frac{1}{60}=\frac{\pi}{30}\\ \mathrm{rad/s}\approx0{,}10472\\ \mathrm{rad/s}.
  • Momento angular do ponteiro:
    L_{\text{ponteiro}}=I_{\text{ponteiro}}\,\omega_{\text{ponteiro}}=0{,}000045\cdot\frac{\pi}{30}.
    Avaliando numericamente:
    L_{\text{ponteiro}}\approx0{,}000045\cdot0{,}10472\approx4{,}71\times10^{-6}\\ \mathrm{kg\,m^{2}/s}.

Passo 7

Verificação rápida de ordem de grandeza e unidades (dica de prova).
  • Unidades: I em \mathrm{kg\,m^{2}} e \omega em \mathrm{rad/s} dão L em \mathrm{kg\,m^{2}/s}, consistente.
  • Ordem de grandeza: sistema mulher+disco é maciço, logo L grande ( \sim10^{3}), ponteiro leve tem L muito pequeno ( \sim10^{-6}) — faz sentido físico.

Resposta

L_{\text{mulher+disco}} \approx 8{,}44\times10^{3}\\ \mathrm{kg\,m^{2}/s}
L_{\text{ponteiro}} \approx 4{,}71\times10^{-6}\\ \mathrm{kg\,m^{2}/s}

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