Qual o potencial elétrico em um ponto arbitrário no interior de um condutor?

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o potencial elétrico em um ponto arbitrário no interior de um condutor.
Informações relevantes (pressupostas/necessárias para responder):
  • Estamos numa situação eletrostática (ou seja, cargas já se redistribuíram e não há corrente contínua de cargas no tempo).
  • Um condutor tem cargas livres que se movimentam até atingir equilíbrio.
  • Precisamos da definição de potencial elétrico e da relação entre campo elétrico e potencial para responder a questão.

Passo 2

Definição e fórmula básica (a “ferramenta” que vamos usar).
O potencial elétrico V é uma função tal que a diferença de potencial entre dois pontos \mathbf{r}_1 e \mathbf{r}_2 é dada por
V(\mathbf{r}_2)-V(\mathbf{r}_1) = -\int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Expliquei cada símbolo:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico no ponto do caminho de integração.
  • d\mathbf{l} é o vetor diferencial ao longo do caminho escolhido entre \mathbf{r}_1 e \mathbf{r}_2.
  • A integral é independente do caminho se o campo for conservativo (caso eletrostático), então podemos escolher qualquer trajeto.
Outra relação útil, equivalente à anterior, é a relação diferencial
\mathbf{E} = -\nabla V,
onde \nabla V é o gradiente do potencial. Isso significa que o campo aponta na direção de maior queda do potencial.

Passo 3

Propriedade física do condutor em equilíbrio eletrostático.
Por definição física (ou por argumento físico): dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático as cargas livres já pararam de se mover. Se houvesse campo elétrico não nulo \mathbf{E}\neq\mathbf{0} dentro do metal, as cargas livres continuariam a sentir força e se moveriam. Portanto, no equilíbrio eletrostático o campo elétrico dentro do condutor é
\mathbf{E}=\mathbf{0}\quad\text{em todo o interior do condutor.}
Esse é um fato fundamental e frequentemente usado em problemas de eletrostática.

Passo 4

Use a fórmula da diferença de potencial com \mathbf{E}=\mathbf{0}.
Escolha dois pontos arbitrários \mathbf{r}_a e \mathbf{r}_b dentro do condutor. Aplicando a definição da diferença de potencial:
V(\mathbf{r}_b)-V(\mathbf{r}_a) = -\int_{\mathbf{r}_a}^{\mathbf{r}_b} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Como \mathbf{E}=\mathbf{0} em todo o percurso dentro do condutor, o integrando é zero e a integral vale zero. Logo
V(\mathbf{r}_b)-V(\mathbf{r}_a)=0.
Isso vale para quaisquer \mathbf{r}_a e \mathbf{r}_b no interior, então o potencial não depende da posição dentro do condutor.

Passo 5

Interpretação física e conclusão prática.
O resultado anterior diz que o potencial elétrico é constante em todo o interior do condutor — ou seja, todas as partes do volume metálico têm o mesmo valor de potencial. Em linguagem comum: o condutor é uma superfície de mesmo potencial (equipotencial). Além disso, como você pode escolher \mathbf{r}_b na superfície do condutor, o valor do potencial em qualquer ponto interior é igual ao potencial da superfície do próprio condutor.
Exemplo concreto (para fixar a ideia): num condutor esférico carregado de raio R com carga total Q, sabe-se que fora da esfera V(r)=kQ/r (para r\ge R) e dentro, por \mathbf{E}=0, o potencial é constante e igual ao valor na superfície:
V(r)=\frac{kQ}{R}\quad\text{para }r\le R.
Aqui k é a constante eletrostática (por exemplo k=1/(4\pi\varepsilon_0)).

Passo 6

Observações e caveats (quando a afirmação pode falhar).
  • Se não estivermos em situação eletrostática (por exemplo, se houver campos elétricos variando no tempo ou correntes estacionárias), pode existir \mathbf{E}\neq\mathbf{0} no interior e, então, o potencial pode variar dentro do condutor.
  • O valor absoluto do potencial depende da escolha de referência (por exemplo, V(\infty)=0 ou outra escolha), mas a propriedade de ser constante dentro do condutor é independente dessa escolha.

Resposta

V é constante em todo o interior do condutor e igual ao potencial da superfície do condutor.

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