Qual o potencial elétrico em um ponto arbitrário no interior de um condutor?
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o potencial elétrico em um ponto arbitrário no interior de um condutor.
Informações relevantes (pressupostas/necessárias para responder):
- Estamos numa situação eletrostática (ou seja, cargas já se redistribuíram e não há corrente contínua de cargas no tempo).
- Um condutor tem cargas livres que se movimentam até atingir equilíbrio.
- Precisamos da definição de potencial elétrico e da relação entre campo elétrico e potencial para responder a questão.
Passo 2
Definição e fórmula básica (a “ferramenta” que vamos usar).
O potencial elétrico é uma função tal que a diferença de potencial entre dois pontos
e
é dada por
O potencial elétrico
Expliquei cada símbolo:
-
é o campo elétrico no ponto do caminho de integração. -
é o vetor diferencial ao longo do caminho escolhido entre e . - A integral é independente do caminho se o campo for conservativo (caso eletrostático), então podemos escolher qualquer trajeto.
Outra relação útil, equivalente à anterior, é a relação diferencial
onde
é o gradiente do potencial. Isso significa que o campo aponta na direção de maior queda do potencial.
Passo 3
Propriedade física do condutor em equilíbrio eletrostático.
Por definição física (ou por argumento físico): dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático as cargas livres já pararam de se mover. Se houvesse campo elétrico não nulo dentro do metal, as cargas livres continuariam a sentir força e se moveriam. Portanto, no equilíbrio eletrostático o campo elétrico dentro do condutor é
Por definição física (ou por argumento físico): dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático as cargas livres já pararam de se mover. Se houvesse campo elétrico não nulo
Esse é um fato fundamental e frequentemente usado em problemas de eletrostática.
Passo 4
Use a fórmula da diferença de potencial com
.
Escolha dois pontos arbitrários e
dentro do condutor. Aplicando a definição da diferença de potencial:
Escolha dois pontos arbitrários
Como
em todo o percurso dentro do condutor, o integrando é zero e a integral vale zero. Logo
Isso vale para quaisquer
e
no interior, então o potencial não depende da posição dentro do condutor.
Passo 5
Interpretação física e conclusão prática.
O resultado anterior diz que o potencial elétrico é constante em todo o interior do condutor — ou seja, todas as partes do volume metálico têm o mesmo valor de potencial. Em linguagem comum: o condutor é uma superfície de mesmo potencial (equipotencial). Além disso, como você pode escolher na superfície do condutor, o valor do potencial em qualquer ponto interior é igual ao potencial da superfície do próprio condutor.
O resultado anterior diz que o potencial elétrico é constante em todo o interior do condutor — ou seja, todas as partes do volume metálico têm o mesmo valor de potencial. Em linguagem comum: o condutor é uma superfície de mesmo potencial (equipotencial). Além disso, como você pode escolher
Exemplo concreto (para fixar a ideia): num condutor esférico carregado de raio
com carga total
, sabe-se que fora da esfera
(para
) e dentro, por
, o potencial é constante e igual ao valor na superfície:
Aqui
é a constante eletrostática (por exemplo
).
Passo 6
Observações e caveats (quando a afirmação pode falhar).
- Se não estivermos em situação eletrostática (por exemplo, se houver campos elétricos variando no tempo ou correntes estacionárias), pode existir
no interior e, então, o potencial pode variar dentro do condutor. - O valor absoluto do potencial depende da escolha de referência (por exemplo,
ou outra escolha), mas a propriedade de ser constante dentro do condutor é independente dessa escolha.