Qual a fórmula integral da relação entre a diferença de potencial entre dois pontos na presença de um campo elétrico?
Passo 1
O enunciado pede a fórmula integral que relaciona a diferença de potencial entre dois pontos quando há um campo elétrico presente.
Informações dadas (implícitas no enunciado): é o campo elétrico em todo o espaço considerado; temos dois pontos quaisquer
e
entre os quais queremos a diferença de potencial. Não há figura nem outras condições adicionais.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
Passo 2
Vamos lembrar a definição física de trabalho realizado pelo campo elétrico quando uma carga
se move de
para
ao longo de um caminho qualquer. Em um deslocamento infinitesimal
a força elétrica sobre a carga é
. O trabalho infinitesimal feito pelo campo sobre a carga é o produto escalar entre força e deslocamento:
Explicação do produto escalar: para vetores
e
,
onde
é o ângulo entre eles. Aqui
capta apenas a componente do deslocamento na direção do campo.
Passo 3
A diferença de potencial elétrico entre
e
é definida pela variação da energia potencial por unidade de carga com sinal invertido. Se
é a variação da energia potencial elétrica ao levar a carga
de
para
, então a diferença de potencial é
Como a variação da energia potencial
é o negativo do trabalho feito pelo campo (o campo fazendo trabalho diminui a energia potencial),
Substituindo
que achamos no Passo 2:
Passo 4
Agora dividimos por
para obter a diferença de potencial. Os
se cancelam:
Essa é justamente a fórmula integral pedida. Note que a integral é um integral de linha do campo elétrico ao longo de um caminho de
até
.
Passo 5
Comentário sobre sinal e ordem dos pontos: se trocar a ordem dos limites da integral aparece um sinal negativo, por exemplo
Também é importante saber que, no caso eletrostático (campo sem variação temporal),
é conservativo e a integral de linha depende apenas dos pontos finais, não do caminho. Nessas situações existe uma função escalar
tal que
e a forma diferencial da relação é
Passo 6
Exemplo concreto e rápido para fixar: campo uniforme
. Entre pontos com coordenadas
e
(movimento ao longo do eixo
):
Se
e
, então
é negativo: movendo-se na direção do campo o potencial diminui.
Passo 7
Unidades e interpretação: a diferença de potencial
é medida em volts (V). A integral
tem unidades de volts também, porque
tem unidades de
e
de
.
Passo 8
Resumo rápido: a fórmula que você precisa decorar e saber usar na prova é simples e poderosa. Se em alguma questão aparecer a integral de linha do campo entre dois pontos, já sabe que isso é (menos) a diferença de potencial entre esses pontos. Força — dá pra encarar isso na prova!