Qual a fórmula integral da relação entre a diferença de potencial entre dois pontos na presença de um campo elétrico?

Passo 1

O enunciado pede a fórmula integral que relaciona a diferença de potencial entre dois pontos quando há um campo elétrico presente.
Informações dadas (implícitas no enunciado): \mathbf{E}(\mathbf{r}) é o campo elétrico em todo o espaço considerado; temos dois pontos quaisquer A e B entre os quais queremos a diferença de potencial. Não há figura nem outras condições adicionais.

Passo 2

Vamos lembrar a definição física de trabalho realizado pelo campo elétrico quando uma carga \,q se move de A para B ao longo de um caminho qualquer. Em um deslocamento infinitesimal \,d\mathbf{l} a força elétrica sobre a carga é \mathbf{F}=q\mathbf{E}. O trabalho infinitesimal feito pelo campo sobre a carga é o produto escalar entre força e deslocamento:
dW = \mathbf{F}\cdot d\mathbf{l} = q\,\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Explicação do produto escalar: para vetores \mathbf{a} e \mathbf{b},
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\,\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles. Aqui \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} capta apenas a componente do deslocamento na direção do campo.

Passo 3

A diferença de potencial elétrico entre A e B é definida pela variação da energia potencial por unidade de carga com sinal invertido. Se \Delta U é a variação da energia potencial elétrica ao levar a carga q de A para B, então a diferença de potencial é
V(B)-V(A)=\frac{\Delta U}{q}.
Como a variação da energia potencial \Delta U é o negativo do trabalho feito pelo campo (o campo fazendo trabalho diminui a energia potencial),
\Delta U = -W_{A\to B} = -\int_{A}^{B} dW.
Substituindo dW que achamos no Passo 2:
\Delta U = -\int_{A}^{B} q\,\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.

Passo 4

Agora dividimos por q para obter a diferença de potencial. Os q se cancelam:
V(B)-V(A) = -\frac{1}{q}\int_{A}^{B} q\,\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\int_{A}^{B} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Essa é justamente a fórmula integral pedida. Note que a integral é um integral de linha do campo elétrico ao longo de um caminho de A até B.

Passo 5

Comentário sobre sinal e ordem dos pontos: se trocar a ordem dos limites da integral aparece um sinal negativo, por exemplo
V(A)-V(B) = -\int_{B}^{A} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = \int_{A}^{B} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Também é importante saber que, no caso eletrostático (campo sem variação temporal), \mathbf{E} é conservativo e a integral de linha depende apenas dos pontos finais, não do caminho. Nessas situações existe uma função escalar V(\mathbf{r}) tal que
\mathbf{E} = -\nabla V
e a forma diferencial da relação é
dV = -\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.

Passo 6

Exemplo concreto e rápido para fixar: campo uniforme \mathbf{E}=E\,\hat{x}. Entre pontos com coordenadas x=a e x=b (movimento ao longo do eixo x):
V(b)-V(a) = -\int_{a}^{b} E\,dx = -E(b-a).
Se b>a e E>0, então V(b)-V(a)=-E(b-a) é negativo: movendo-se na direção do campo o potencial diminui.

Passo 7

Unidades e interpretação: a diferença de potencial V(B)-V(A) é medida em volts (V). A integral \int_{A}^{B}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} tem unidades de volts também, porque \mathbf{E} tem unidades de \text{V/m} e d\mathbf{l} de \text{m}.

Passo 8

Resumo rápido: a fórmula que você precisa decorar e saber usar na prova é simples e poderosa. Se em alguma questão aparecer a integral de linha do campo entre dois pontos, já sabe que isso é (menos) a diferença de potencial entre esses pontos. Força — dá pra encarar isso na prova!

Resposta

V(B)-V(A) = -\int_{A}^{B} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}

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