A probabilidade de encontrar certa partícula quântica em uma certa região do eixo x, entre x_{1}=4,5 \mathrm{~nm} e x_{2}=6,5 \mathrm{~nm} é de 79,5 \%. A função de onda \psi(x) é uma constante (um número real positivo) em toda essa região, ou seja, \psi(x)=C_{0}, Qual é o valor numérico ( C_{0} ) que pode ser atribuido a \psi(x), em unidades de n m^{-1 / 2} ?
Observação: Não é necessário incluir a unidade na resposta.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • A probabilidade de encontrar a partícula entre x_{1}=4,5\\ \mathrm{nm} e x_{2}=6,5\\ \mathrm{nm} é 79,5\%. Vou trabalhar com essa probabilidade como o número decimal \,0,795.
  • A função de onda é constante dentro dessa região: \psi(x)=C_{0}, com C_{0} um número real positivo.
  • A pergunta: determinar numericamente C_{0} em unidades de \mathrm{nm}^{-1/2}. (Na seção final eu coloco apenas o número, sem unidade.)

Passo 2

Conceito fundamental que precisamos usar: a densidade de probabilidade em mecânica quântica é |\psi(x)|^{2}.
Isto significa que a probabilidade de encontrar a partícula entre dois pontos a e b é
\int_{a}^{b} |\psi(x)|^{2}\,dx.
Aqui |\psi(x)|^{2} é sempre não negativa; se \psi for real, |\psi|^{2}=\psi^{2}.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: a probabilidade entre x_{1} e x_{2} é
\int_{x_{1}}^{x_{2}} |\psi(x)|^{2}\,dx.
Como \psi(x)=C_{0} (constante) nessa região e C_{0} é real positivo, temos |\psi(x)|^{2}=C_{0}^{2}. Então a integral vira
\int_{x_{1}}^{x_{2}} C_{0}^{2}\,dx = C_{0}^{2}\,(x_{2}-x_{1}).

Passo 4

Essa quantidade deve ser igual à probabilidade dada, ou seja
C_{0}^{2}\,(x_{2}-x_{1}) = 0,795.
Agora calculamos a largura do intervalo:
\Delta x = x_{2}-x_{1} = 6,5 - 4,5 = 2,0\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Substituindo \Delta x na equação, obtemos
C_{0}^{2}\cdot 2,0 = 0,795.
Isolando C_{0}^{2},
C_{0}^{2} = \frac{0,795}{2,0} = 0,3975.

Passo 6

Como C_{0} é dado positivo, tomamos a raiz quadrada positiva:
C_{0} = \sqrt{0,3975}.
Agora aproximamos a raiz quadrada. Uma boa aproximação é
\sqrt{0,3975}\approx 0,6306.
Isso tem o sentido físico correto: a unidade é \mathrm{nm}^{-1/2}, que garante que a probabilidade (número adimensional) saia corretamente ao integrar |\psi|^{2} sobre nm.

Resposta

0,6306

Exercícios relacionados