O potencial elétrico em um ponto (x, y) de uma placa do plano x y é dado por V=\frac{4}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}. Trace as curvas equipotenciais para V=4 ; V=1 e V=1 / 2.

Passo 1

O enunciado apresenta o potencial elétrico em qualquer ponto (x,y) do plano como
V(x,y) \;=\; \frac{4}{\sqrt{\,9 - x^2 - y^2\,}}
e pede as curvas equipotenciais para V=4, V=1 e V=\tfrac12. O conteúdo aqui é “curvas de nível” de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Para traçar uma equipotencial V=V_0, igualamos
\frac{4}{\sqrt{\,9 - x^2 - y^2\,}} \;=\; V_0
e isolamos x^2 + y^2. Primeiro
\sqrt{\,9 - x^2 - y^2\,} \;=\;\frac{4}{V_0},
e elevando ao quadrado obtemos
9 - x^2 - y^2 \;=\;\frac{16}{V_0^2} \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 \;=\; 9 \;-\; \frac{16}{V_0^2}.
Note que, para existir curva real, é necessário
9 - \frac{16}{V_0^2}\;\ge\;0 \quad\Longleftrightarrow\quad V_0^2 \;\ge\;\frac{16}{9} \quad\Longleftrightarrow\quad |V_0|\;\ge\;\frac{4}{3}.

Passo 3

Para V_0=4 temos
x^2 + y^2 \;=\; 9 \;-\;\frac{16}{4^2} \;=\;9 - 1 = 8,
ou seja, a equipotencial é o círculo de raio \sqrt{8}=2\sqrt2:
\boxed{x^2 + y^2 = 8}.

Passo 4

Para V_0=1 calcula-se
x^2 + y^2 \;=\;9 - \frac{16}{1^2} = 9 - 16 = -7,
que é negativo. Logo não há nenhuma curva real com V=1.

Passo 5

Para V_0=\tfrac12 obtemos
x^2 + y^2 \;=\;9 - \frac{16}{(\tfrac12)^2} =9 - 64 = -55,
também impossível. Não existe equipotencial real para V=\tfrac12.

Resposta

Para V=4: círculo x^2+y^2=8.
Para V=1 e V=\tfrac12: não existem curvas equipotenciais (nenhuma solução real).

Exercícios relacionados