Seja r \in \mathbb{R}\), para funções de uma variável independentes, temos o seguinte limite fundamental \[\lim _{r \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(r)}{r}=1
Utilize este limite para verificar se as funções dadas são contínuas no ponto ( 0,0 )
(f(x, y)= \begin{cases}\frac{\operatorname{sen}(x . y)}{x y}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função é dada por
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\operatorname{sen}(xy)}{xy}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 1, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
  • O enunciado também fornece o limite fundamental em uma variável:
\lim_{r\to 0}\frac{\operatorname{sen}(r)}{r}=1.
  • A pergunta a responder é: a função f é contínua no ponto (0,0)?
Observação sobre a escrita: a fórmula \dfrac{\operatorname{sen}(xy)}{xy} só está definida quando xy\neq 0. Vou entender que, fora de (0,0), a função toma esse valor sempre que xy\neq0. Para testar continuidade em (0,0) precisamos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=1.]

Passo 2

Entender por que é razoável reduzir o problema ao limite em uma variável [\dfrac{\operatorname{sen}®}{r}).
  • Se definirmos a função de uma variável g por
g(r)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\operatorname{sen} r}{r}, & r\neq 0,\\[6pt] 1, & r=0, \end{cases}
sabemos pelo enunciado que \lim_{r\to 0}g(r)=1\], ou seja, \(g é contínua em r=0.
  • Note que, para (x,y) com xy\neq 0, tem-se f(x,y)=g(xy). Assim, se conseguirmos mostrar que xy\to 0 sempre que (x,y)\to(0,0), então g(xy)\to g(0)=1 por continuidade de g.]

Passo 3

Mostrar que xy\to 0 quando (x,y)\to(0,0).
  • Defina \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, que é a distância euclidiana de (x,y) a (0,0).
  • Temos |x|\le \rho e |y|\le \rho. Logo
|xy|\le |x|\,|y|\le \rho\cdot\rho=\rho^{2}.
  • Se (x,y)\to(0,0) então \rho\to 0, portanto \rho^{2}\to 0 e, por consequência, |xy|\to 0. Assim xy\to 0.

Passo 4

Converter a informação do passo anterior em um argumento \varepsilon- \delta simples usando o limite fundamental.
  • Pelo limite em uma variável, para todo \varepsilon>0 existe \delta_{1}>0 tal que, se |r|<\delta_{1}, então
\left|\frac{\operatorname{sen} r}{r}-1\right|<\varepsilon.
  • Escolha \delta=\sqrt{\delta_{1}}. Agora, se (x,y) satisfaz \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então, pelo passo 3,
|xy|\le \bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)^{2}<\delta^{2}=\delta_{1}.
  • Portanto |xy|<\delta_{1} e, pelo escolha de \delta_{1},
\left|\frac{\operatorname{sen}(xy)}{xy}-1\right|<\varepsilon.
Isto mostra que, sempre que (x,y) está suficientemente perto de (0,0) (com (x,y) em pontos onde a expressão está definida), o valor de f(x,y)=\dfrac{\operatorname{sen}(xy)}{xy} fica arbitrariamente próximo de 1.

Passo 5

Concluir a continuidade em (0,0) e comentar brevemente o caso das retas coordenadas.
  • O argumento \varepsilon- \delta anterior prova que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=1.
  • Pelo fato de f(0,0)=1, segue que f é contínua em (0,0).
  • Comentário rápido: pontos sobre os eixos (por exemplo (0,y) com y\neq 0) fazem xy=0 e a expressão \dfrac{\operatorname{sen}(xy)}{xy} não está escrita ali; isso não impede a prova do limite porque o argumento usou apenas pontos em que a expressão está definida arbitrariamente próximos de (0,0). Se desejar estender a definição para todos os pontos com xy=0 atribuindo valor 1 nessas retas, a função continua sendo contínua nesses pontos também (por um argumento análogo).

Resposta

Sim. A função f é contínua em (0,0).

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