Seja r \in \mathbb{R}\), para funções de uma variável independentes, temos o seguinte limite fundamental
\[\lim _{r \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(r)}{r}=1
Utilize este limite para verificar se as funções dadas são contínuas no ponto ( 0,0 )
(f(x, y)= \begin{cases}\frac{\operatorname{sen}(x . y)}{x y}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}]
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado também fornece o limite fundamental em uma variável:
\lim_{r\to 0}\frac{\operatorname{sen}(r)}{r}=1.
A pergunta a responder é: a função f é contínua no ponto (0,0)?
Observação sobre a escrita: a fórmula \dfrac{\operatorname{sen}(xy)}{xy} só está definida quando xy\neq 0. Vou entender que, fora de (0,0), a função toma esse valor sempre que xy\neq0. Para testar continuidade em (0,0) precisamos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=1.]
Passo 2
Entender por que é razoável reduzir o problema ao limite em uma variável [\dfrac{\operatorname{sen}®}{r}).
sabemos pelo enunciado que \lim_{r\to 0}g(r)=1\], ou seja, \(g é contínua em r=0.
Note que, para (x,y) com xy\neq 0, tem-se f(x,y)=g(xy). Assim, se conseguirmos mostrar que xy\to 0 sempre que (x,y)\to(0,0), então g(xy)\to g(0)=1 por continuidade de g.]
Passo 3
Mostrar que xy\to 0 quando (x,y)\to(0,0).
Defina \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, que é a distância euclidiana de (x,y) a (0,0).
Temos |x|\le \rho e |y|\le \rho. Logo
|xy|\le |x|\,|y|\le \rho\cdot\rho=\rho^{2}.
Se (x,y)\to(0,0) então \rho\to 0, portanto \rho^{2}\to 0 e, por consequência, |xy|\to 0. Assim xy\to 0.
Passo 4
Converter a informação do passo anterior em um argumento \varepsilon-\delta simples usando o limite fundamental.
Pelo limite em uma variável, para todo \varepsilon>0 existe \delta_{1}>0 tal que, se |r|<\delta_{1}, então
Isto mostra que, sempre que (x,y) está suficientemente perto de (0,0) (com (x,y) em pontos onde a expressão está definida), o valor de f(x,y)=\dfrac{\operatorname{sen}(xy)}{xy} fica arbitrariamente próximo de 1.
Passo 5
Concluir a continuidade em (0,0) e comentar brevemente o caso das retas coordenadas.
O argumento \varepsilon-\delta anterior prova que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=1.
Pelo fato de f(0,0)=1, segue que f é contínua em (0,0).
Comentário rápido: pontos sobre os eixos (por exemplo (0,y) com y\neq 0) fazem xy=0 e a expressão \dfrac{\operatorname{sen}(xy)}{xy} não está escrita ali; isso não impede a prova do limite porque o argumento usou apenas pontos em que a expressão está definida arbitrariamente próximos de (0,0). Se desejar estender a definição para todos os pontos com xy=0 atribuindo valor 1 nessas retas, a função continua sendo contínua nesses pontos também (por um argumento análogo).