No potencial
V=5 r^{2}
[V / m] que quantidade de cargas está localizada dentro de uma esfera unitária centrada na origem? Resp.:
Q=-1,113 \eta C

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico radial
V(r)=5\,r^{2}
e pede a quantidade de carga total contida dentro de uma esfera unitária centrada na origem (ou seja, raio R=1). Informações relevantes: o potencial é função apenas de r (simetria esférica) e queremos calcular a carga total Q dentro do volume da esfera de raio 1.

Passo 2

Ligando potencial à densidade de carga: em eletrostática clássica a equação de Poisson relaciona o potencial V à densidade de carga volumétrica \rho por
\nabla^{2}V=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}},
onde \nabla^{2} é o Laplaciano e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}\approx 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}). Reorganizando:
\rho = -\varepsilon_{0}\,\nabla^{2}V.
Aqui \rho tem unidades de \mathrm{C/m^{3}} porque \nabla^{2}V tem unidades de \mathrm{V/m^{2}} e \varepsilon_{0} tem \mathrm{F/m}=\mathrm{C/(V\cdot m)}.

Passo 3

Para uma função radial V(r) (simetria esférica), o Laplaciano em coordenadas esféricas reduz-se a
\nabla^{2}V(r)=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV}{dr}\right).
Explicando isso rapidamente: em coordenadas esféricas, o efeito de variação em r sofre o fator geométrico r^{2} vindo do volume elementar; para funções que dependem só de r as derivadas angulares desaparecem e sobra essa forma. Agora aplicamos a fórmula ao nosso V(r)=5r^{2}.

Passo 4

Calculemos passo a passo as derivadas:
\frac{dV}{dr}=\frac{d}{dr}\big(5r^{2}\big)=10r.
Multiplicando por r^{2}:
r^{2}\frac{dV}{dr}=r^{2}\cdot 10r = 10r^{3}.
Derivando em relação a r:
\frac{d}{dr}\!\left(10r^{3}\right)=30r^{2}.
Dividindo por r^{2} obtemos o Laplaciano:
\nabla^{2}V(r)=\frac{1}{r^{2}}\cdot 30r^{2}=30.
Observação: o resultado é constante (igual a 30) para r>0 e a expressão é bem definida em r=0 também por continuidade.

Passo 5

Agora a densidade de carga é
\rho=-\varepsilon_{0}\,\nabla^{2}V=-\varepsilon_{0}\cdot 30 = -30\,\varepsilon_{0}.
Portanto \rho é constante dentro da esfera (devido ao potencial quadrático).

Passo 6

A carga total dentro da esfera de raio R=1 é a integral da densidade sobre o volume; como \rho é constante:
Q=\int_{\text{esfera}} \rho\,dV = \rho \cdot \text{Volume da esfera} = \rho\cdot \frac{4}{3}\pi R^{3}.
Substituindo \rho=-30\varepsilon_{0} e R=1:
Q = -30\varepsilon_{0}\cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 1^{3} = -40\pi\,\varepsilon_{0}.
No passo algébrico usamos -30\cdot \frac{4}{3} = -40.

Passo 7

Agora calculamos numericamente usando \varepsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}:
Q = -40\pi\varepsilon_{0} \approx -40\cdot \pi \cdot 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{C}.
Faço a conta em duas etapas: primeiro \pi\varepsilon_{0}\approx 3{,}14159265\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}\approx 2{,}7816266\times10^{-11}. Multiplicando por 40:
Q \approx -1{,}1126506\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
Arredondando de forma razoável obtemos
Q \approx -1{,}113\times10^{-9}\\ \mathrm{C} = -1{,}113\\ \mathrm{nC}.

Resposta

-1{,}113\times10^{-9}\\ \mathrm{C}

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