No potencial
V=5 r^{2}
[V / m] que quantidade de cargas está localizada dentro de uma esfera unitária centrada na origem? Resp.:
Q=-1,113 \eta C
V=5 r^{2}
[V / m] que quantidade de cargas está localizada dentro de uma esfera unitária centrada na origem? Resp.:
Q=-1,113 \eta C
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico radial
e pede a quantidade de carga total contida dentro de uma esfera unitária centrada na origem (ou seja, raio
). Informações relevantes: o potencial é função apenas de
(simetria esférica) e queremos calcular a carga total
dentro do volume da esfera de raio
.
Passo 2
Ligando potencial à densidade de carga: em eletrostática clássica a equação de Poisson relaciona o potencial
à densidade de carga volumétrica
por
onde
é o Laplaciano e
é a permissividade do vácuo (
). Reorganizando:
Aqui
tem unidades de
porque
tem unidades de
e
tem
.
Passo 3
Para uma função radial
(simetria esférica), o Laplaciano em coordenadas esféricas reduz-se a
Explicando isso rapidamente: em coordenadas esféricas, o efeito de variação em
sofre o fator geométrico
vindo do volume elementar; para funções que dependem só de
as derivadas angulares desaparecem e sobra essa forma. Agora aplicamos a fórmula ao nosso
.
Passo 4
Calculemos passo a passo as derivadas:
Multiplicando por
:
Derivando em relação a
:
Dividindo por
obtemos o Laplaciano:
Observação: o resultado é constante (igual a
) para
e a expressão é bem definida em
também por continuidade.
Passo 5
Agora a densidade de carga é
Portanto
é constante dentro da esfera (devido ao potencial quadrático).
Passo 6
A carga total dentro da esfera de raio
é a integral da densidade sobre o volume; como
é constante:
Substituindo
e
:
No passo algébrico usamos
.
Passo 7
Agora calculamos numericamente usando
:
Faço a conta em duas etapas: primeiro
. Multiplicando por
:
Arredondando de forma razoável obtemos