Use a Lei de Gauss para determinar o vetor densidade de fluxo elétrico em um ponto P para as seguintes distribuições de carga:
Carga pontual Q localizada na origem;
Carga pontual Q localizada na origem;
Passo 1
O enunciado dá uma carga pontual
localizada na origem e pede o vetor densidade de fluxo elétrico em um ponto
. Informações relevantes:
- A carga pontual é
e está em . - Queremos
em um ponto qualquer do espaço (distância da origem). - Não há mais cargas distribuídas especificadas; portanto a única carga livre dentro de qualquer superfície fechada que contenha a origem é
.
Nada mais será assumido além do enunciado.
Passo 2
Apresento a lei de Gauss no formato que usamos para o vetor densidade de fluxo
. Esta lei diz que o fluxo total de
através de qualquer superfície fechada
é igual à carga livre total
contida dentro de
. Em fórmula:
Explicando cada termo:
-
é o vetor densidade de fluxo elétrico (unidade: ). -
é um elemento de área orientado da superfície, com direção normal para fora. -
indica integração sobre uma superfície fechada. -
é a carga livre total dentro da superfície (no nosso caso, será se a superfície contiver a origem, senão zero).
Passo 3
Escolha da superfície de Gauss: por simetria esférica da carga pontual, a melhor superfície é uma esfera de raio
centrada na origem (assim todos pontos da superfície estão à mesma distância
da carga). Justificativa intuitiva:
- A distribuição é radial e isotrópica (não há direção privilegiada), então a magnitude de
só pode depender de . - A direção de
deve ser radial (para fora se , para dentro se ).
Denotemos por
essa esfera de raio
. A área total da esfera é
.
Passo 4
Avaliação do fluxo pela superfície esférica. Como
tem direção radial e módulo constante sobre
, escrevemos
sobre a esfera, onde
é o módulo que depende só de
e
é o versor radial. Para cada elemento de área da esfera temos
. Assim,
Integramos sobre toda a esfera:
Passo 5
Aplicando a lei de Gauss. A carga livre contida dentro da esfera
(que contém a origem) é
. Portanto,
Resolvendo para o módulo
:
Isso nos dá o módulo do vetor
a uma distância
da origem.
Passo 6
Colocando no formato vetorial. A direção é radial, então o vetor densidade de fluxo é
Uma forma alternativa, útil para representar
em coordenadas cartesianas, é usar o vetor posição
e
. Como
, obtemos
Explicando: dividir por
aparece porque
.
Passo 7
Observações finais didáticas e motivação para a prova:
- A escolha da superfície de Gauss alinhada com a simetria do problema é o passo-chave; para cargas pontuais a simetria é esférica.
- A lei de Gauss em termos de
é especialmente prática quando há dielétricos, pois ela relaciona direto com a carga livre. Para o caso de espaço livre (vácuo) a relação com o campo elétrico é , então . - Em prova, escreva claramente a superfície de Gauss escolhida, use simetria para afirmar que
tem módulo constante na superfície e execute a integral simples do fluxo.