Use a Lei de Gauss para determinar o vetor densidade de fluxo elétrico em um ponto P para as seguintes distribuições de carga:
Carga pontual Q localizada na origem;

Passo 1

O enunciado dá uma carga pontual Q localizada na origem e pede o vetor densidade de fluxo elétrico em um ponto P. Informações relevantes:
  • A carga pontual é Q e está em (0,0,0).
  • Queremos \mathbf{D} em um ponto P qualquer do espaço (distância r da origem).
  • Não há mais cargas distribuídas especificadas; portanto a única carga livre dentro de qualquer superfície fechada que contenha a origem é Q.
    Nada mais será assumido além do enunciado.

Passo 2

Apresento a lei de Gauss no formato que usamos para o vetor densidade de fluxo \mathbf{D}. Esta lei diz que o fluxo total de \mathbf{D} através de qualquer superfície fechada S é igual à carga livre total Q_{\text{livre}} contida dentro de S. Em fórmula:
\oint_{S} \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{livre}}
Explicando cada termo:
  • \mathbf{D} é o vetor densidade de fluxo elétrico (unidade: \text{C}/\text{m}^2).
  • d\mathbf{A} é um elemento de área orientado da superfície, com direção normal para fora.
  • \oint_{S} indica integração sobre uma superfície fechada.
  • Q_{\text{livre}} é a carga livre total dentro da superfície S (no nosso caso, será Q se a superfície contiver a origem, senão zero).

Passo 3

Escolha da superfície de Gauss: por simetria esférica da carga pontual, a melhor superfície é uma esfera de raio r centrada na origem (assim todos pontos da superfície estão à mesma distância r da carga). Justificativa intuitiva:
  • A distribuição é radial e isotrópica (não há direção privilegiada), então a magnitude de \mathbf{D} só pode depender de r.
  • A direção de \mathbf{D} deve ser radial (para fora se Q>0, para dentro se Q<0).
Denotemos por S_r essa esfera de raio r. A área total da esfera é 4\pi r^2.

Passo 4

Avaliação do fluxo pela superfície esférica. Como \mathbf{D} tem direção radial e módulo constante sobre S_r, escrevemos \mathbf{D} = D_r(r)\,\hat{\mathbf{r}} sobre a esfera, onde D_r(r) é o módulo que depende só de r e \hat{\mathbf{r}} é o versor radial. Para cada elemento de área da esfera temos d\mathbf{A} = \hat{\mathbf{r}}\,dA. Assim,
\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} = D_r(r)\,\hat{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{r}}\,dA = D_r(r)\,dA.
Integramos sobre toda a esfera:
\oint_{S_r}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} = D_r(r)\oint_{S_r} dA = D_r(r)\cdot 4\pi r^2.

Passo 5

Aplicando a lei de Gauss. A carga livre contida dentro da esfera S_r (que contém a origem) é Q_{\text{livre}}=Q. Portanto,
D_r(r)\cdot 4\pi r^2 = Q.
Resolvendo para o módulo D_r(r):
D_r(r) = \frac{Q}{4\pi r^2}.
Isso nos dá o módulo do vetor \mathbf{D} a uma distância r da origem.

Passo 6

Colocando no formato vetorial. A direção é radial, então o vetor densidade de fluxo é
\mathbf{D}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi r^2}\,\hat{\mathbf{r}}.
Uma forma alternativa, útil para representar \mathbf{D} em coordenadas cartesianas, é usar o vetor posição \mathbf{r} = x\hat{\mathbf{i}}+y\hat{\mathbf{j}}+z\hat{\mathbf{k}} e r=\|\mathbf{r}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. Como \hat{\mathbf{r}}=\dfrac{\mathbf{r}}{r}, obtemos
\mathbf{D}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi}\,\frac{\mathbf{r}}{r^3}.
Explicando: dividir por r^3 aparece porque \dfrac{1}{r^2}\hat{\mathbf{r}} = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\mathbf{r}}{r} = \dfrac{\mathbf{r}}{r^3}.

Passo 7

Observações finais didáticas e motivação para a prova:
  • A escolha da superfície de Gauss alinhada com a simetria do problema é o passo-chave; para cargas pontuais a simetria é esférica.
  • A lei de Gauss em termos de \mathbf{D} é especialmente prática quando há dielétricos, pois ela relaciona direto com a carga livre. Para o caso de espaço livre (vácuo) a relação com o campo elétrico \mathbf{E} é \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}, então \mathbf{E}=\dfrac{1}{\varepsilon_0}\mathbf{D}.
  • Em prova, escreva claramente a superfície de Gauss escolhida, use simetria para afirmar que \mathbf{D} tem módulo constante na superfície e execute a integral simples do fluxo.

Resposta

\displaystyle \mathbf{D}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi r^2}\,\hat{\mathbf{r}}
\displaystyle \mathbf{D}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi}\,\frac{\mathbf{r}}{r^3}

Exercícios relacionados