Use a Lei de Gauss para determinar o vetor densidade de fluxo elétrico em um ponto P para as seguintes distribuições de carga:
Um condutor cilíndrico infinito de carga (uniformemente carregada) sobre o eixo z com densidade superficial de carga \rho_{s} constante e comprimento L. Considerar uma gaussiana cilíndrica de raio \rho>a
Um condutor cilíndrico infinito de carga (uniformemente carregada) sobre o eixo z com densidade superficial de carga \rho_{s} constante e comprimento L. Considerar uma gaussiana cilíndrica de raio \rho>a
Passo 1
O enunciado pede: determinar o vetor densidade de fluxo elétrico em um ponto
para um condutor cilíndrico (coaxial ao eixo
) com carga uniformemente distribuída sobre sua superfície, com densidade superficial de carga
constante. Foi dada uma gaussiana cilíndrica coaxial de raio
e comprimento
. Dados importantes fornecidos:
- densidade superficial de carga:
(constante); - raio do condutor:
; - raio da superfície gaussiana:
com ; - comprimento considerado da gaussiana:
.
A pergunta é: qual éno ponto situado na superfície gaussiana de raio (isto é, para )?
Passo 2
Escrevendo a Lei de Gauss na forma integral (a que vamos usar):
Expliquei o que está nessa fórmula:
-
é o vetor densidade de fluxo elétrico que queremos achar; -
é o elemento de área orientado para fora da superfície fechada ; -
é a carga livre total contida no interior da superfície .
A ideia é calcular o fluxo do campopela superfície gaussiana e igualá-lo à carga encerrada.
Passo 3
Usando simetria para simplificar a forma de
:
- O problema é simétrico por rotação em torno do eixo
e por translação ao longo de (o cilindro é geométrica e eletrostaticamente uniforme). Por isso o campo só pode depender da distância radial ao eixo e apontar radialmente. - Logo podemos escrever a forma geral do campo fora do condutor como
ou seja, só componente radial
, independente de
e
.
Passo 4
Escolhendo a superfície gaussiana prática: um cilindro coaxial de raio
e comprimento
. Agora calculamos o fluxo pela superfície gaussiana.
- A superfície tem três partes: a superfície lateral curva e as duas tampas (capas) nas extremidades. Pelo argumento de simetria o campo é puramente radial, então é perpendicular à superfície lateral e paralelo às normais das tampas? Na realidade, a normal das tampas é
, e como é radial, seu produto escalar com a normal das tampas é zero. Portanto somente a superfície lateral contribui para o fluxo. - A área da superfície lateral é
. Como é constante em módulo sobre essa superfície (depende só de ), o fluxo total é
Passo 5
Agora calculamos a carga livre encerrada pela gaussiana:
- Todas as cargas do condutor estão na superfície do condutor, em
. Como a gaussiana tem , ela encerra a totalidade da carga do trecho de comprimento do condutor. - A carga total encerrada é a densidade superficial multiplicada pela área da superfície do cilindro de raio
e comprimento :
(Usei explicitamente a informação dada no enunciado:
é a densidade superficial e o comprimento considerado é
.)
Passo 6
Igualando fluxo e carga pela Lei de Gauss:
Cancelamos o fator comum
(positivo e não nulo) e isolamos
:
Portanto o vetor densidade de fluxo, lembrando a direção radial para fora, é
Passo 7
Observações finais didáticas e checagem:
- Podemos reescrever em termos da densidade linear de carga
do cilindro: . Substituindo obtemos a forma familiar
- A dependência
é esperada para um condutor cilíndrico infinito (campo de uma linha de carga). - Para
(no interior do condutor ideal em equilíbrio eletrostático) valeria , pois o campo interno de um condutor em equilíbrio é zero.