Use a Lei de Gauss para determinar o vetor densidade de fluxo elétrico em um ponto P para as seguintes distribuições de carga:
Um condutor cilíndrico infinito de carga (uniformemente carregada) sobre o eixo z com densidade superficial de carga \rho_{s} constante e comprimento L. Considerar uma gaussiana cilíndrica de raio \rho>a

Passo 1

O enunciado pede: determinar o vetor densidade de fluxo elétrico em um ponto P para um condutor cilíndrico (coaxial ao eixo z) com carga uniformemente distribuída sobre sua superfície, com densidade superficial de carga \rho_{s} constante. Foi dada uma gaussiana cilíndrica coaxial de raio \rho>a e comprimento L. Dados importantes fornecidos:
  • densidade superficial de carga: \rho_{s} (constante);
  • raio do condutor: a;
  • raio da superfície gaussiana: \rho com \rho>a;
  • comprimento considerado da gaussiana: L.
    A pergunta é: qual é \mathbf{D} no ponto P situado na superfície gaussiana de raio \rho (isto é, para \rho>a)?

Passo 2

Escrevendo a Lei de Gauss na forma integral (a que vamos usar):
\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{livre, encerrada}}
Expliquei o que está nessa fórmula:
  • \mathbf{D} é o vetor densidade de fluxo elétrico que queremos achar;
  • d\mathbf{A} é o elemento de área orientado para fora da superfície fechada S;
  • Q_{\text{livre, encerrada}} é a carga livre total contida no interior da superfície S.
    A ideia é calcular o fluxo do campo \mathbf{D} pela superfície gaussiana e igualá-lo à carga encerrada.

Passo 3

Usando simetria para simplificar a forma de \mathbf{D}:
  • O problema é simétrico por rotação em torno do eixo z e por translação ao longo de z (o cilindro é geométrica e eletrostaticamente uniforme). Por isso o campo só pode depender da distância radial \rho ao eixo e apontar radialmente.
  • Logo podemos escrever a forma geral do campo fora do condutor como
\mathbf{D}(\rho)=D_{\rho}(\rho)\,\hat{\boldsymbol{\rho}},
ou seja, só componente radial D_{\rho}(\rho), independente de \varphi e z.

Passo 4

Escolhendo a superfície gaussiana prática: um cilindro coaxial de raio \rho e comprimento L. Agora calculamos o fluxo pela superfície gaussiana.
  • A superfície tem três partes: a superfície lateral curva e as duas tampas (capas) nas extremidades. Pelo argumento de simetria o campo é puramente radial, então é perpendicular à superfície lateral e paralelo às normais das tampas? Na realidade, a normal das tampas é \pm\hat{\mathbf{z}}, e como \mathbf{D} é radial, seu produto escalar com a normal das tampas é zero. Portanto somente a superfície lateral contribui para o fluxo.
  • A área da superfície lateral é 2\pi \rho L. Como \mathbf{D} é constante em módulo sobre essa superfície (depende só de \rho), o fluxo total é
\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=D_{\rho}(\rho)\cdot(2\pi \rho L).

Passo 5

Agora calculamos a carga livre encerrada pela gaussiana:
  • Todas as cargas do condutor estão na superfície do condutor, em \rho=a. Como a gaussiana tem \rho>a, ela encerra a totalidade da carga do trecho de comprimento L do condutor.
  • A carga total encerrada é a densidade superficial multiplicada pela área da superfície do cilindro de raio a e comprimento L:
Q_{\text{enc}}=\rho_{s}\cdot(2\pi a L).
(Usei explicitamente a informação dada no enunciado: \rho_{s} é a densidade superficial e o comprimento considerado é L.)

Passo 6

Igualando fluxo e carga pela Lei de Gauss:
D_{\rho}(\rho)\,(2\pi \rho L)=\rho_{s}\,(2\pi a L).
Cancelamos o fator comum 2\pi L (positivo e não nulo) e isolamos D_{\rho}(\rho):
D_{\rho}(\rho)=\dfrac{\rho_{s}\,a}{\rho}.
Portanto o vetor densidade de fluxo, lembrando a direção radial para fora, é
\mathbf{D}(\rho)=\dfrac{\rho_{s}\,a}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}},\qquad \text{para }\rho>a.

Passo 7

Observações finais didáticas e checagem:
  • Podemos reescrever em termos da densidade linear de carga \lambda do cilindro: \lambda=\rho_{s}\cdot 2\pi a. Substituindo obtemos a forma familiar
\mathbf{D}(\rho)=\dfrac{\lambda}{2\pi\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}.
  • A dependência \propto 1/\rho é esperada para um condutor cilíndrico infinito (campo de uma linha de carga).
  • Para \rho<a (no interior do condutor ideal em equilíbrio eletrostático) valeria \mathbf{D}= \mathbf{0}, pois o campo interno de um condutor em equilíbrio é zero.

Resposta

\mathbf{D}(\rho)=\dfrac{\rho_{s}\,a}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}},\qquad \text{para }\rho>a.

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