O potencial (em relação a um ponto no infinito) sobre um ponto equidistante de duas cargas iguais mas de sinais contrários é igual a zero. É possível trazer uma carga do infinito até esse ponto de modo que o trabalho seja igual a zero em qualquer parte da trajetória? Caso seja possível, descreva como. Caso não seja, explique por quê.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos duas cargas iguais em módulo e de sinais opostos, e no ponto exatamente no meio delas (ou seja, equidistante) o potencial elétrico em relação ao infinito é zero. A pergunta é: dá pra levar uma carga de teste do infinito até esse ponto de tal forma que o trabalho feito pela força elétrica seja zero em qualquer trecho do caminho? Matéria envolvida: campo e potencial elétrico, superfícies equipotenciais e trabalho de uma força conservativa. Vamos usar conceito de que, em um campo elétrico, o trabalho para levar uma carga de um ponto A a um ponto B depende só da diferença de potencial
, e que superfícies onde
é constante geram trabalho nulo se a gente se move só nelas.
Passo 2
Primeiro, refrescando a teoria do trabalho em campo conservativo:
- O trabalho feito pela força elétrica ao mover uma carga
de para é
- Se
, então . - Além disso, superfícies equipotenciais são conjuntos de pontos onde
é o mesmo. Se a gente se move estritamente sobre uma equipotencial, o trabalho infinitesimal dá zero, porque é sempre ortogonal à superfície.
Passo 3
No nosso caso, a superfície equipotencial de valor zero (já que no ponto médio
) é justamente a mediatriz entre as duas cargas, ou seja, o plano (ou linha, em 2D) cujos pontos satisfazem
Esse plano se estende até o infinito, e nele todo ponto tem
. Logo, se a gente escolher um ponto inicial no infinito que já esteja nesse plano equipotencial (ainda que seja “infinito” ali, o potencial continua valendo zero), e for movendo a carga sempre mantendo-se sobre esse plano, em cada trecho teremos
constante
. Portanto, em qualquer pedacinho do caminho
e o trabalho é nulo.
Passo 4
Ou seja, basta “colar” a carga de teste na superfície equipotencial
(a mediatriz das duas cargas) desde o infinito até o ponto médio. Como ela nunca sai dessa superfície, a força elétrica não faz trabalho nenhum em nenhuma parte da trajetória.
Resposta
Sim! É só trazer a carga de teste do infinito seguindo sempre a superfície equipotencial
(a mediatriz entre as duas cargas). Como o potencial nunca varia ao longo desse caminho, o trabalho realizado pela força elétrica é zero em qualquer trecho.