Três placas não-condutoras infinitas, com densidades superficiais de carga uniformes
e
, são dispostas de modo a ficarem paralelas como as duas placas da Fig. 24.17a. Qual a ordem das superfícies, da esquerda para a direita, se o campo elétrico
produzido pelo arranjo possuir intensidade
em uma região e
em outra região?
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é descobrir em que ordem, da esquerda pra direita, a gente coloca as placas com σ, 2σ e 3σ para que o campo elétrico fique E=0 numa das regiões entre elas e E=2σ/ε₀ na outra.
Conteúdo: campo de lâminas infinitas carregadas e princípio da superposição.
O que vamos usar:
Conteúdo: campo de lâminas infinitas carregadas e princípio da superposição.
O que vamos usar:
- Campo de uma lâmina infinita com densidade σ:
apontando sempre para fora (afastando-se) se σ>0.
- Superposição: soma vetorial dos campos de cada lâmina.
Passo 2
Escolhe um nome pras placas: A, B e C, com densidades que ainda vamos ordenar. Cada placa empurra o campo para os dois lados: à direita gera campo para a direita, à esquerda gera campo para a esquerda, sempre com módulo σ_i/(2ε₀).
Nos interessa o campo nas duas regiões entre A–B e B–C.
Nos interessa o campo nas duas regiões entre A–B e B–C.
Passo 3
Vamos testar a ordem A=3σ, B=2σ, C=σ (da esquerda para a direita).
- Região entre A e B:
- Placa A (3σ) gera, no lado direito,
- Placa B (2σ) gera, no lado esquerdo,
- Placa C (σ) também contribui nessa região, pois está à direita de B e empurra, do seu lado esquerdo,
Soma vetorial:
$$E_{\rm entre,A,B}=+\frac{3σ}{2ε_0}-\frac{σ}{ε_0}-\frac{σ}{2ε_0}=\frac{3σ-2σ-σ}{2ε_0}=0.$$
Bacana, dá E=0.
- Placa A (3σ) gera, no lado direito,
Passo 4
Agora a região entre B e C:
- Placa A (3σ), lado direito:
- Placa B (2σ), lado direito:
- Placa C (σ), lado esquerdo:
Soma:
$$E_{\rm entre,B,C}=\frac{3σ}{2ε_0}+\frac{σ}{ε_0}-\frac{σ}{2ε_0}
=\frac{3σ+2σ-σ}{2ε_0}
=\frac{4σ}{2ε_0}=\frac{2σ}{ε_0}.$$
Exatamente o que a questão pedia.
Resposta
A ordem das placas, da esquerda para a direita, é: 3σ, 2σ e σ.