Três placas não-condutoras infinitas, com densidades superficiais de carga uniformes sigma, 2 sigma e 3 sigma, são dispostas de modo a ficarem paralelas como as duas placas da Fig. 24.17a. Qual a ordem das superfícies, da esquerda para a direita, se o campo elétrico E produzido pelo arranjo possuir intensidade E=0 em uma região e E=2 sigma / varepsilon0 em outra região?

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é descobrir em que ordem, da esquerda pra direita, a gente coloca as placas com σ, 2σ e 3σ para que o campo elétrico fique E=0 numa das regiões entre elas e E=2σ/ε₀ na outra.
Conteúdo: campo de lâminas infinitas carregadas e princípio da superposição.
O que vamos usar:
  • Campo de uma lâmina infinita com densidade σ: Erm lâmina=σ2ε0â
    apontando sempre para fora (afastando-se) se σ>0.
    - Superposição: soma vetorial dos campos de cada lâmina.

Passo 2

Escolhe um nome pras placas: A, B e C, com densidades que ainda vamos ordenar. Cada placa empurra o campo para os dois lados: à direita gera campo para a direita, à esquerda gera campo para a esquerda, sempre com módulo σ_i/(2ε₀).
Nos interessa o campo nas duas regiões entre A–B e B–C.

Passo 3

Vamos testar a ordem A=3σ, B=2σ, C=σ (da esquerda para a direita).
  1. Região entre A e B:
    • Placa A (3σ) gera, no lado direito, EA=+3σ2ε0(para a direita)
      - Placa B (2σ) gera, no lado esquerdo,
      EB=-2σ2ε0=-σε0(para a esquerda)
    • Placa C (σ) também contribui nessa região, pois está à direita de B e empurra, do seu lado esquerdo, EC=-σ2ε0(para a esquerda)
      Soma vetorial:
      $$E_{\rm entre,A,B}=+\frac{3σ}{2ε_0}-\frac{σ}{ε_0}-\frac{σ}{2ε_0}=\frac{3σ-2σ-σ}{2ε_0}=0.$$
      Bacana, dá E=0.

Passo 4

Agora a região entre B e C:
  • Placa A (3σ), lado direito: EA=+3σ2ε0
    - Placa B (2σ), lado direito:
    EB=+2σ2ε0=+σε0
  • Placa C (σ), lado esquerdo: EC=-σ2ε0
    Soma:
    $$E_{\rm entre,B,C}=\frac{3σ}{2ε_0}+\frac{σ}{ε_0}-\frac{σ}{2ε_0}
    =\frac{3σ+2σ-σ}{2ε_0}
    =\frac{4σ}{2ε_0}=\frac{2σ}{ε_0}.$$
    Exatamente o que a questão pedia.

Resposta

A ordem das placas, da esquerda para a direita, é: 3σ, 2σ e σ.

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