O potencial vetor de certa distribuição de corrente elétrica em uma região do espaço é dado, em coordenadas cilíndricas, por A(rho, varphi, z)=-C0 ln (rho / a) z, com C0 e a constantes. i) Calcule o campo magnético B(rho, varphi, z); ii) Em que região espacial próxima a qual distribuição de corrente elétrica pode-se observar esse campo magnético?
B(rho, varphi, z)=C0rho varphi; proximidades de um fio retilíneo longo
B B(rho, varphi, z)=C0(arho) varphi; proximidades de um fio retilíneo longo
C B(rho, varphi, z)=C0rho varphi; ao longo do eixo de uma espira circular
D B(rho, varphi, z)=C0(arho) z; interior de um solenoide longo
E B(rho, varphi, z)=C0 rho z; interior de um solenoide longo

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o potencial vetor em coordenadas cilíndricas
A(rho,varphi,z)=-C0,ln!l(tfracrhoar),hat z,,
onde C0 e a são constantes.
Conteúdo: eletromagnetismo – cálculo de campo magnético a partir do vetor potencial e identificação da distribuição de corrente.
O que vamos precisar:
- A definição de B=nablatimesA.
- A fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas.
- A interpretação física via lei de Ampère.

Passo 2

Teoria do rotacional em cilíndricas. Se A=(Arho,Avarphi,Az), então
(nablatimesA)rho =1rhopartial Azpartialvarphi -partial Avarphipartial z,
(nablatimesA)varphi =partial Arhopartial z -partial Azpartialrho,
(nablatimesA)z =1rhol[partial(rho Avarphi)partialrho -partial Arhopartialvarphir]

Passo 3

Identificando componentes de A:
Arho=0, Avarphi=0, Az=-C0ln!l(tfracrhoar)
Calculamos cada componente de B=nablatimesA:
- Brho=1rhopartial Azpartialvarphi-partial Avarphipartial z=0-0=0.
- $B_\varphi=\frac{\partial A_\rho}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial\rho}
=0-\Bigl(-C_0\frac{1}{\rho}\Bigr)=\frac{C_0}{\rho},. $
- $B_z=\frac{1}{\rho}\bigl[\partial_\rho(\rho A_\varphi)-\partial_\varphi A_\rho\bigr]=0,. $
Logo
Bvarphi=partial Arhopartial z-partial Azpartialrho =0-l(-C01rhor)=C0rho,

Passo 4

Interpretação física: um campo magnético que decai como 1/rho no ângulo hatvarphi é típico do campo ao redor de um fio retilíneo longo (corrente ao longo do eixo z). Pela lei de Ampère fechada
ointBcdot dell=mu0 Irm enc Longrightarrow B(rho)=mu0 I2pirho,
vemos que a forma propto1/rho casa bem com um fio longo.

Passo 5

Conclusão sobre a distribuição: esse B aparece perto de um fio retilíneo e infinito com corrente ao longo do eixo z.

Resposta

B(rho,varphi,z)=C0rho,varphi; proximidades de um fio retilíneo longo.

Exercícios relacionados