A potential field in free space is expressed as V=20 /(x y z) V.
Find the total energy stored within the cube 1. We integrate the energy density over the cube volume, where wE=(1 / 2) epsilon0 E cdot E, and where

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um potencial elétrico em vácuo dado por
V(x,y,z)=20xyz;V
e pede para calcular a energia total armazenada no campo elétrico dentro do cubo definido por wE=tfrac12varepsilon0,EcdotE .
Isso é parte de eletrostática: a gente vai usar a densidade de energia
E=-nabla V
e o fato de que
Então precisamos de (i) calcular a partir de , (ii) montar , (iii) integrar sobre o volume do cubo.

Passo 2

Vamos achar o campo E=-l(partialxV,;partialyV,;partialzVr) . Lembra que
partialxV=-20x^2yz, partialyV=-20xy^2z, partialzV=-20xyz^2
Como Ex=-partialxV=20x^2yz, Ey=20xy^2z, Ez=20xyz^2 , calculamos as derivadas parciais:
Logo

Passo 3

Agora precisamos de Ex^2=400x^4y^2z^2, Ey^2=400x^2y^4z^2, Ez^2=400x^2y^2z^4 .
|E|^2 =400l(1x^4y^2z^2+1x^2y^4z^2+1x^2y^2z^4r)
Então
wE=tfrac12varepsilon0|E|^2 =200,varepsilon0l(1x^4y^2z^2+1x^2y^4z^2+1x^2y^2z^4r)
E a densidade de energia é

Passo 4

A energia total é a integral tripla
U=integral tripla!1
Como cada termo separa em produto de integrais, por exemplo
integral1^2!integral1^2!integral1^2dx,dy,dzx^4y^2z^2 =l(integral1^2x^-4dxr) l(integral1^2y^-2dyr) l(integral1^2z^-2dzr),
e existem três termos “cíclicos” iguais, a soma dá Ix=integral1^2x^-4dx, Iy=integral1^2x^-2dx, Iz=Iy , onde

Passo 5

Calculando as integrais básicas:
Ix=integral1^2x^-4dx=l[-13x^3r]1^2 =13l(1-18r)=724,
Iy=integral1^2x^-2dx=l[-1xr]1^2 =1-tfrac12=tfrac12
Então
integral tripla!dVx^4y^2z^2=(Ix)(Iy)(Iy) =724cdot12cdot12=796,
e o somatório dos três termos é
3cdot796=732
Logo
U =200,varepsilon0cdot732 =140032,varepsilon0 =1754,varepsilon0 approx 43.75,varepsilon0

Resposta

Substituindo boxedUapprox 3.9times10^-10 J ,

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