A potential field in free space is expressed as
.
Find the total energy stored within the cube
. We integrate the energy density over the cube volume, where
, and where
Find the total energy stored within the cube
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um potencial elétrico em vácuo dado por
e pede para calcular a energia total armazenada no campo elétrico dentro do cubo definido por
.
Isso é parte de eletrostática: a gente vai usar a densidade de energia
Isso é parte de eletrostática: a gente vai usar a densidade de energia
e o fato de que
Então precisamos de (i) calcular
a partir de
, (ii) montar
, (iii) integrar
sobre o volume do cubo.
Passo 2
Vamos achar o campo
. Lembra que
Como
, calculamos as derivadas parciais:
Logo
Passo 3
Agora precisamos de
.
Então
E a densidade de energia é
Passo 4
A energia total é a integral tripla
Como cada termo separa em produto de integrais, por exemplo
e existem três termos “cíclicos” iguais, a soma dá
, onde
Passo 5
Calculando as integrais básicas:
Então
e o somatório dos três termos é
Logo
Resposta
Substituindo
,