A sphere of radius
contains volume charge of uniform density
. Find the total stored energy by applying
Eq.
Eq.
Passo 1
Beleza, o exercício diz: “Temos uma esfera de raio
com densidade volumétrica de carga uniforme
. Calcule a energia total armazenada usando
Isso cai em eletrostática, mais especificamente em energia do campo. Para resolver, vamos precisar de:
- Gauss para achar o campo
dentro da esfera. - Integração de
para obter o potencial . - Montar a integral
em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, a gente faz Gauss para achar
para
.
– Considere uma superfície gaussiana esférica de raio .
– A carga “presa” dentro dela é
– Considere uma superfície gaussiana esférica de raio
– A carga “presa” dentro dela é
Pela lei de Gauss
Agora, para o potencial
, usamos
Como
, primeiro vamos achar
(potencial na superfície):
mas já sabemos do resultado padrão que isso dá
(O cálculo completo de fora não é super necessário — o resultado certo é esse.)
Então, para dentro,
Então, para dentro,
Passo 3
Agora montamos a integral da energia:
Substituindo
,
Passo 4
Calcule a integral:
logo
Então