A sphere of radius a contains volume charge of uniform density rho0 C / m^3. Find the total stored energy by applying
Eq. WE=12 integralvol rhov V d v

Passo 1

Beleza, o exercício diz: “Temos uma esfera de raio WE=12integralvolrhov,V,d v com densidade volumétrica de carga uniforme . Calcule a energia total armazenada usando
Isso cai em eletrostática, mais especificamente em energia do campo. Para resolver, vamos precisar de:
  1. Gauss para achar o campo dentro da esfera.
  2. Integração de para obter o potencial .
  3. Montar a integral em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, a gente faz Gauss para achar Qrm int(r)=rho0times 4pi r^33 para oint Ecdot dA =E(r),4pi r^2 =Qrm int(r)varepsilon0 ;Rightarrow; E(r) =rho03varepsilon0,r .
– Considere uma superfície gaussiana esférica de raio V(r)-V(infty) =-integralinfty^r!E(r'),dr' .
– A carga “presa” dentro dela é
V(a)=integralinfty^a!Erm fora(r'),dr' =14pivarepsilon0Qrm totala,
Pela lei de Gauss
V(a)=rho03varepsilon0a^22times 3 =rho0a^23varepsilon0
Agora, para o potencial V(r)=V(a)-integrala^r!E(r'),dr' =rho0a^23varepsilon0 -integrala^r!rho03varepsilon0,r',dr' =rho06varepsilon0l(3a^2-r^2r) , usamos
Como , primeiro vamos achar (potencial na superfície):
mas já sabemos do resultado padrão que isso dá
(O cálculo completo de fora não é super necessário — o resultado certo é esse.)
Então, para dentro,

Passo 3

Agora montamos a integral da energia:
W =12integralesferarho0,V(r),dV =12,rho0integral0^a!V(r),4pi r^2dr
Substituindo W =12,rho0,4pi integral0^arho06varepsilon0l(3a^2-r^2r)r^2dr =2pirho0^26varepsilon0 integral0^a!l(3a^2r^2-r^4r)dr ,

Passo 4

Calcule a integral:
integral0^a3a^2r^2dr =3a^2,a^33=a^5, integral0^ar^4dr=a^55,
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integral0^a(3a^2r^2-r^4)dr =a^5-a^55 =45a^5
Então
W =2pirho0^26varepsilon0times45a^5 =4pirho0^2a^515,varepsilon0

Resposta

boxedW ;=;4pi,rho0^2,a^515,varepsilon0,

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