Given the electric field
, find the potential difference between the points
and
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um campo elétrico
e pede a diferença de potencial entre os pontos
O conteúdo é “potencial elétrico” e “campo conservativo”. Para resolver, a gente vai:
- mostrar que o campo é conservativo (∇×E=0),
- achar a função potencial φ(x,y,z) tal que
, - avaliar φ em
e e subtrair.
Passo 2
Primeiro, checar se o campo é conservativo. A regra é calcular o rotacional:
Isso dá três componentes:
- Componente x:
, - Componente y:
, - Componente z:
.
Logo ∇×E=0, o campo é conservativo e existe φ tal que .
Passo 3
Agora, achamos φ(x,y,z) resolvendo as três equações parciais:
-
,phi(x,y,z)=-x(y+1)+f(y,z) -
,partialphipartial y=-x+partial fpartial y=-(x-1) Longrightarrow partial fpartial y=-1 -
.partialphipartial z=g'(z)=-2 Longrightarrow g(z)=-2z+C
Integramos 1):
Derivando isso em relação a y e igualando a 2):
Por fim, a 3):
Juntando tudo (e desprezando a constante absoluta
):
Passo 4
Basta avaliar φ em
xy=6,;x=3,;y=2,;2z=-2 Longrightarrow phi1=-(6+3+2-2)=-9 e em
xy=6,;x=-2,;y=-3,;2z=8 Longrightarrow phi2=-(6-2-3+8)=-9 e fazer
.
Para
:
Para
:
Resposta
A diferença de potencial entre os pontos é