Given the electric field E=(y+1) ax+(x-1) ay+2 az, find the potential difference between the points
(3,2,-1) and (-2,-3,4)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um campo elétrico
E=(y+1),ax+(x-1),ay+2,az
e pede a diferença de potencial entre os pontos
P1=(3,2,-1)e P2=(-2,-3,4)
O conteúdo é “potencial elétrico” e “campo conservativo”. Para resolver, a gente vai:
  1. mostrar que o campo é conservativo (∇×E=0),
  2. achar a função potencial φ(x,y,z) tal que ,
  3. avaliar φ em e e subtrair.

Passo 2

Primeiro, checar se o campo é conservativo. A regra é calcular o rotacional:
nablatimesE = ax & ay & az partialx & partialy & partialz y+1 & x-1 & 2
Isso dá três componentes:
  • Componente x: ,
  • Componente y: ,
  • Componente z: .
    Logo ∇×E=0, o campo é conservativo e existe φ tal que .

Passo 3

Agora, achamos φ(x,y,z) resolvendo as três equações parciais:
  1. phi(x,y,z)=-x(y+1)+f(y,z) ,
  2. partialphipartial y=-x+partial fpartial y=-(x-1) Longrightarrow partial fpartial y=-1 ,
  3. partialphipartial z=g'(z)=-2 Longrightarrow g(z)=-2z+C .
Integramos 1):
boxedphi(x,y,z)=-l(xy+x+y+2zr)
Derivando isso em relação a y e igualando a 2):

Por fim, a 3):
Juntando tudo (e desprezando a constante absoluta ):

Passo 4

Basta avaliar φ em xy=6,;x=3,;y=2,;2z=-2 Longrightarrow phi1=-(6+3+2-2)=-9 e em xy=6,;x=-2,;y=-3,;2z=8 Longrightarrow phi2=-(6-2-3+8)=-9 e fazer .
Para :
Para :

Resposta

A diferença de potencial entre os pontos é
De

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