[Potter] Exercício 3.52
Um aspirador de pó é capaz de criar um vácuo de 2 kPa logo na entrada da mangueira. Qual a velocidade média máxima esperada na mangueira?
\mathrm{R}:[V=57,143 \mathrm{~m} / \mathrm{s}]

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede uma coisa clara:
  • Informação dada: “Um aspirador de pó é capaz de criar um vácuo de 2\\ \mathrm{kPa} logo na entrada da mangueira.”
  • Informação faltante, mas necessária e que vamos adotar (valor padrão): densidade do ar próxima ao nível do mar e temperatura ambiente: \rho = 1{,}225\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • O que é pedido: a velocidade média máxima esperada na mangueira, ou seja, o maior valor teórico de velocidade do ar que podemos obter com esse vácuo de 2\\ \mathrm{kPa}.

Passo 2

Interpretação do que significa "vácuo de 2\\ \mathrm{kPa}" (importante para não errar o sinal/valor):
  • A interpretação física mais comum aqui é que o aspirador reduz a pressão dentro da mangueira em 2\\ \mathrm{kPa} em relação à pressão atmosférica (ou seja, é um "vácuo de 2\\ \mathrm{kPa}" como valor de vácuo gauge). Então a diferença de pressão que acelera o ar é \Delta P = 2{,}000\\ \mathrm{Pa}.
  • Se alguém interpretasse que a pressão absoluta dentro da mangueira seria 2{,}000\\ \mathrm{Pa} (ou seja, vácuo absoluto de 2\\ \mathrm{kPa}), a diferença em relação à atmosfera seria \approx 99{,}325\\ \mathrm{Pa} e isso levaria a velocidades absurdas (próximas ou acima da velocidade do som), o que é incompatível com um aspirador doméstico. Por isso usamos a interpretação gauge (queda de 2\\ \mathrm{kPa} abaixo da atmosfera).

Passo 3

Princípio físico a usar e justificativa (aula rápida): Bernoulli para obter velocidade máxima
  • Quando o ar passa do ambiente (pressão atmosférica) para dentro da mangueira com pressão mais baixa, a energia de pressão é convertida em energia cinética. Ignorando elevações e perdas por atrito para obter o máximo teórico, aplicamos a forma simplificada da equação de Bernoulli entre o ponto livre no ar (1) e o interior da mangueira (2):
P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2
  • Explicando as variáveis: P_1 é a pressão no ar ambiente, P_2 é a pressão na entrada da mangueira; \rho é a densidade do ar; v_1 é a velocidade do ar no ambiente (praticamente nula, v_1\approx 0); v_2 é a velocidade dentro da mangueira (o que queremos).
  • Isolando v_2 e usando v_1\approx 0 temos:
\tfrac{1}{2}\rho v_2^2 = P_1 - P_2 = \Delta P
v_2 = \sqrt{\dfrac{2\,\Delta P}{\rho}}
  • Essa fórmula dá a velocidade máxima teórica, porque negligencia perdas (atrito, curvas, resistência da mangueira). É uma aproximação comum e válida para estimativas quando \Delta P é relativamente pequeno em relação à pressão absoluta (aqui 2\\ \mathrm{kPa} é pequeno frente a 101{,}325\\ \mathrm{Pa}) — assim, o ar pode ser tratado como incompressível para este cálculo.

Passo 4

Cálculo numérico passo a passo
  • Primeiro, converto a diferença de pressão para unidades SI:
\Delta P = 2\\ \mathrm{kPa} = 2{,}000\\ \mathrm{Pa}.
  • Uso \rho = 1{,}225\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Agora aplico a fórmula:
v = \sqrt{\dfrac{2\,\Delta P}{\rho}}.
  • Substituindo os números:
v = \sqrt{\dfrac{2 \times 2{,}000}{1{,}225}} = \sqrt{\dfrac{4{,}000}{1{,}225}}.
  • Calculo a fração:
\dfrac{4{,}000}{1{,}225} \approx 3{,}265{,}306\ldots
  • Agora a raiz quadrada:
v \approx \sqrt{3{,}265{,}306} \approx 57{,}143\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Interpretação final e observações práticas (motivação para a prova)
  • O valor encontrado, v \approx 57{,}143\\ \mathrm{m/s}, é a velocidade máxima idealizada que o ar poderia ter se toda a queda de pressão fosse convertida em energia cinética e não houvesse perdas. Na prática a velocidade real será menor por causa de atrito, entradas reais, perdas em curvas e perda de carga na mangueira.
  • A aproximação de ar incompressível é válida porque \Delta P/P_{atm} \approx 0{,}02 (só 2%), então efeitos compressíveis são pequenos.
  • Dica de prova: memorize a fórmula básica para esse tipo de estimativa:
v \approx \sqrt{\dfrac{2\,\Delta P}{\rho}},
e sempre cheque a interpretação de “vácuo” (gauge vs. absoluto) para não errar o \Delta P.

Resposta

V=57{,}143\\ \mathrm{m/s}

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