Considere uma condução de calor unidimensional permanente em uma extensa parede de espessura L e condutividade térmica constante k, sem geração de calor. Obtenha expressões para a variação da temperatura no interior da parede para os seguintes pares de condição de contorno:
-k \frac{d T(0)}{d x}=\dot{q}_{0}=40 \mathrm{~W} / \mathrm{cm}^{2} \mathrm{e}-k \frac{d T(L)}{d x}=\dot{q}_{L}=\dot{q}_{0}=40 \mathrm{~W} / \mathrm{cm}^{2}

Passo 1

O enunciado pede para obter a expressão da variação da temperatura no interior de uma parede plana de espessura L sob condução de calor unidimensional, em regime permanente, com condutividade térmica constante k e sem geração interna de calor. As condições de contorno fornecidas são as fluxos de calor nas faces:
-k\frac{dT}{dx}\Big|_{x=0}=\dot q_{0}=40\\ \mathrm{W/cm^2}
e
-k\frac{dT}{dx}\Big|_{x=L}=\dot q_{L}=\dot q_{0}=40\\ \mathrm{W/cm^2}.
Informações relevantes listadas:
  • geometria: coord. x variando de 0 (face esquerda) a L (face direita);
  • estado: regime permanente (tempo não entra na equação);
  • condutividade térmica: k constante;
  • geração de calor: zero;
  • condições de contorno: ambos os fluxos prescritos e iguais a \dot q_{0}=40\\ \mathrm{W/cm^2}.
    Observação: a imagem anexa mostra também um valor 15^\circ\mathrm{C} na face esquerda, mas esse valor não foi explicitamente dado no enunciado matemático das condições de contorno que você forneceu; portanto nesta resolução não usarei esse 15^\circ\mathrm{C} a menos que você confirme que deve ser aplicado. Seguiremos apenas as duas condições de fluxo dadas acima.

Passo 2

Escrevendo a equação diferencial que descreve a condução 1D em regime permanente, sem geração e com k constante: a conservação de energia (equação de calor estacionária) reduz-se a
\frac{d}{dx}\Big(k\frac{dT}{dx}\Big)=0.
Como k é constante, isso simplifica para
\frac{d^2 T}{dx^2}=0.
Explicação didática: essa equação significa que o gradiente de temperatura varia linearmente (ou seja, a segunda derivada é zero), o que fisicamente corresponde a um perfil de temperatura linear quando não há geração e as propriedades são constantes.

Passo 3

Integramos a equação diferencial uma vez para obter o gradiente de temperatura:
\frac{dT}{dx}=C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. Integração: integrar \frac{d^2T}{dx^2}=0 em x \frac{dT}{dx}=C_1.
Significado físico de C_1: é o gradiente de temperatura, constante ao longo da parede. A lei de condução de Fourier relaciona o fluxo de calor com esse gradiente:
\dot q(x)=-k\frac{dT}{dx}.
Como o gradiente é constante, o fluxo \dot q também é constante em x.

Passo 4

Aplicamos as condições de contorno de fluxo. Em x=0 temos
-k\frac{dT}{dx}\Big|_{x=0}=\dot q_{0}.
Como \frac{dT}{dx}=C_1 é constante, a condição dá
-kC_1=\dot q_{0}\quad\Rightarrow\quad C_1=-\frac{\dot q_{0}}{k}.
Verificação com a condição em x=L: -kC_1 tem o mesmo valor em todo x, logo
-k\frac{dT}{dx}\Big|_{x=L}=-kC_1=\dot q_{0},
o que é consistente com a segunda condição porque \dot q_{L}=\dot q_{0}. Portanto o gradiente é fixado pelo fluxo comum \dot q_{0}.

Passo 5

Agora integramos novamente para obter T(x). Como \frac{dT}{dx}=C_1=-\dfrac{\dot q_{0}}{k}, integramos:
T(x)=\int \frac{dT}{dx}\,dx = C_1 x + C_2 = -\frac{\dot q_{0}}{k}x + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Explicação do que é C_2: é a temperatura de referência (valor absoluto), que não é determinado pelas condições de fluxo alone.

Passo 6

Interpretando as constantes e escrevendo fórmulas úteis para a prova:
  • Se você quiser escrever a solução em função de T(0) (valor da temperatura na face x=0, caso fosse conhecido), ponha x=0 na expressão e obtenha T(0)=C_2. Logo a solução pode ser escrita como
T(x)=T(0)-\frac{\dot q_{0}}{k}\,x.
  • Se preferir expressar em função de T(L), ponha x=L e obtenha T(L)=-\dfrac{\dot q_{0}}{k}L+C_2, de onde
T(x)=T(L)+\frac{\dot q_{0}}{k}\,(L-x).
  • A diferença entre as temperaturas nas faces é dada por
T(0)-T(L)=\frac{\dot q_{0}}{k}\,L.
Essas formas são equivalentes; a inclinação (coeficiente de x) está totalmente determinada pelo fluxo \dot q_{0} e por k, mas a constante aditiva C_2 (ou seja, T(0) ou T(L)) só é conhecida se houver uma condição de temperatura (Dirichlet) adicional.

Passo 7

Comentário prático para a prova (motivação e check): quando você tem duas condições de fluxo (duas condições de Neumann) e a equação é de segunda ordem, em geral essas duas condições determinam as duas constantes de integração; porém aqui ambas as condições entregam a MESMA informação sobre a derivada (ambas impõem o mesmo valor do fluxo), então elas não fixam o valor absoluto da temperatura — fixam apenas o gradiente. Por isso existe uma família infinita de soluções lineares paralelas (deslocadas verticalmente). Para obter uma solução única numérica, você precisa de mais informação: por exemplo um valor de temperatura em uma das faces (p.ex. T(0)=15^\circ\mathrm{C} se este dado for confirmado).

Resposta

T(x)= -\frac{\dot q_{0}}{k}\,x + C_2
\text{Equivalente: }T(x)=T(0)-\frac{\dot q_{0}}{k}\,x
\text{ou }T(x)=T(L)+\frac{\dot q_{0}}{k}\,(L-x),\quad\text{com } \dot q_{0}=40\\ \mathrm{W/cm^2}.

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