em que:
-
-
e
.
a) Determine
, em função de
;
a) Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação de diferença do segundo grau:
onde
é uma função que vale 1 quando
e 0 caso contrário. Além disso, temos as condições iniciais
e
. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para
em termos de
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações de diferença lineares, como solução da equação homogênea e particular, e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando a parte da direita da equação é igual a zero. Então, temos:
Para resolver isso, vamos supor uma solução do tipo
, onde
é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo todos os termos por
(desde que
), fica:
Essa é a equação característica. Vamos resolver para
:
Fatorando:
Então, as raízes são
e
. Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Olhando para o lado direito da equação original, temos que
é 1 somente quando
e 0 caso contrário. Isso sugere que a função de entrada é uma função impulso.
Para simplificar, vamos supor que a solução particular
é constante, já que o impulso ocorre apenas em
. Então, tentamos:
Substituindo na equação original:
Para
, exceto quando
,
, então
.
Para
, temos:
Portanto, a solução particular é:
onde
é a função impulso de Kronecker, que é 1 quando
e 0 caso contrário.
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Agora, resolvemos o sistema de equações (1) e (2):
Da equação (2):
Da equação (1):
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo
na equação (1):
Resposta
A solução para
é: