y[k+2]+3 y[k+1]+2 y[k]=e[k],
em que:
  • e(k)=lr1, & para k=0, 0, & caso contrário; á
  • y[0]=1 e y[1]=-1.
    a) Determine y[k], em função de k;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação de diferença do segundo grau:
y[k+2] + 3 y[k+1] + 2 y[k] = e[k],
onde e(k) é uma função que vale 1 quando k=0 e 0 caso contrário. Além disso, temos as condições iniciais y[0] = 1 e y[1] = -1. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para y[k] em termos de k. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações de diferença lineares, como solução da equação homogênea e particular, e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando a parte da direita da equação é igual a zero. Então, temos:
yh[k+2] + 3 yh[k+1] + 2 yh[k] = 0
Para resolver isso, vamos supor uma solução do tipo yh[k] = r^k, onde r é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo na equação homogênea:
r^k+2 + 3 r^k+1 + 2 r^k = 0
Dividindo todos os termos por r^k (desde que r neq 0), fica:
r^2 + 3 r + 2 = 0
Essa é a equação característica. Vamos resolver para r:
r^2 + 3 r + 2 = 0
Fatorando:
(r + 1)(r + 2) = 0
Então, as raízes são r = -1 e r = -2. Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
yh[k] = A (-1)^k + B (-2)^k
onde A e B são constantes que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Olhando para o lado direito da equação original, temos que e[k] é 1 somente quando k=0 e 0 caso contrário. Isso sugere que a função de entrada é uma função impulso.
Para simplificar, vamos supor que a solução particular yp[k] é constante, já que o impulso ocorre apenas em k=0. Então, tentamos:
yp[k] = C
Substituindo na equação original:
C + 3C + 2C = e[k]
6C = e[k]
Para k >= 0, exceto quando k=0, e[k]=0, então C=0.
Para k=0, temos:
6C = 1 Rightarrow C = 16
Portanto, a solução particular é:
yp[k] = 16 de
onde de é a função impulso de Kronecker, que é 1 quando k=0 e 0 caso contrário.

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y[k] = yh[k] + yp[k] = A (-1)^k + B (-2)^k + 16 de

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de A e B.
Para k=0:
y[0] = A (-1)^0 + B (-2)^0 + 16 de
Então:
A + B = 56 (1)
Para k=1:
y[1] = A (-1)^1 + B (-2)^1 + 16 de
Então:
-A - 2B = -1 (2)
Agora, resolvemos o sistema de equações (1) e (2):
Da equação (2):
A + 2B = 1
Da equação (1):
A + B = 56
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(A + 2B) - (A + B) = 1 - 56
B = 16
Substituindo B = 16 na equação (1):
A + 16 = 56
A = 46 = 23

Resposta

A solução para y[k] é:
y[k] = 23 (-1)^k + 16 (-2)^k + 16 de

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