Pr: Rosoluer os P.V.I.:
y^{\prime \prime}+4 y=8 \delta(t-2 \pi), y(0)=3, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Equação diferencial com impulso: y''+4y=8\delta(t-2\pi).
  • Condições iniciais: y(0)=3,\qquad y'(0)=0.
O problema pede a solução y(t) do P.V.I. para todo t\ge0. Vou usar a ideia de resolver a equação homogênea em dois intervalos (antes e depois do impulso em t=2\pi) e aplicar a condição de salto na derivada causada pelo termo \delta(t-2\pi).

Passo 2

Resolver a equação homogênea e aplicar as condições iniciais no intervalo 0\le t<2\pi.
Passo técnico rápido sobre a homogênea: a equação associada é
y''+4y=0.
A equação característica é r^2+4=0, cujas raízes são r=\pm 2i. Assim a base de soluções é \cos(2t) e \sin(2t). Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C\cos(2t)+D\sin(2t),
onde C e D são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Agora aplicando as condições iniciais em t=0:
y(0)=C\cos0+D\sin0=C=3 \quad\Rightarrow\quad C=3.
A derivada é
y'(t)=-2C\sin(2t)+2D\cos(2t),
logo em t=0:
y'(0)=2D=0 \quad\Rightarrow\quad D=0.
Portanto, para 0\le t<2\pi temos
y(t)=3\cos(2t).

Passo 3

Avaliar os valores imediatamente antes do impulso ( t\to 2\pi^-).
Usando a solução encontrada:
y(2\pi^-)=3\cos(2\cdot 2\pi)=3\cos(4\pi)=3\cdot 1=3,
y'(t)=-6\sin(2t)\quad\Rightarrow\quad y'(2\pi^-)= -6\sin(4\pi)=0.

Passo 4

Determinar o efeito do \delta-impulso: condição de salto na derivada.
Regra prática (e que vamos justificar): ao integrar a equação em um intervalo pequeno que contém t=2\pi, a contribuição do \delta aparece como um salto finito na derivada primeira. Faça a integração de ambos os lados em [2\pi-\varepsilon,\,2\pi+\varepsilon] e depois faça \varepsilon\to0^+:
\int_{2\pi-\varepsilon}^{2\pi+\varepsilon} y''(t)\,dt + 4\int_{2\pi-\varepsilon}^{2\pi+\varepsilon} y(t)\,dt = 8\int_{2\pi-\varepsilon}^{2\pi+\varepsilon}\delta(t-2\pi)\,dt.
O primeiro termo dá
\int_{2\pi-\varepsilon}^{2\pi+\varepsilon} y''(t)\,dt = y'(2\pi+\varepsilon)-y'(2\pi-\varepsilon).
O segundo termo tende a zero quando \varepsilon\to0 porque y é limitada (produto com intervalo que vai a zero). O lado direito é 8. Logo, passando ao limite,
y'(2\pi^+)-y'(2\pi^-)=8.
Isto significa que a solução é contínua em t=2\pi (nenhum salto em y), mas y' sofre um salto igual a 8.

Passo 5

Calcular y'(2\pi^+) usando o salto encontrado.
Já tínhamos y'(2\pi^-)=0 (do Passo 3). Então
y'(2\pi^+)=y'(2\pi^-)+8=0+8=8.

Passo 6

Resolver a homogênea para t>2\pi e usar as condições em t=2\pi^+.
Para t>2\pi a equação é novamente homogênea y''+4y=0, então a solução tem a forma
y(t)=C_2\cos(2t)+D_2\sin(2t).
Impor continuidade em t=2\pi e a condição sobre a derivada em t=2\pi^+:
  • Continuidade: y(2\pi^+)=y(2\pi^-)=3. Calculando,
y(2\pi^+)=C_2\cos(4\pi)+D_2\sin(4\pi)=C_2\cdot 1 + D_2\cdot 0 = C_2,
logo C_2=3.
  • Derivada em t=2\pi^+: usando a fórmula da derivada,
y'(t)=-2C_2\sin(2t)+2D_2\cos(2t),
em t=2\pi isso dá
y'(2\pi^+) = -2C_2\sin(4\pi)+2D_2\cos(4\pi)=0+2D_2\cdot 1 = 2D_2.
Mas já sabemos y'(2\pi^+)=8. Assim 2D_2=8\Rightarrow D_2=4.
Portanto, para t\ge 2\pi (ou t>2\pi com continuidade no ponto),
y(t)=3\cos(2t)+4\sin(2t).

Passo 7

Escrever a solução global, em forma por partes e também citar uma forma com degrau de Heaviside.
Solução por partes (para t\ge0\)): \[y(t)=\begin{cases} 3\cos(2t), & 0\le t<2\pi,\\[4pt] 3\cos(2t)+4\sin(2t), & t\ge 2\pi. \end{cases}
Forma usando a função degrau (H(t-2\pi)] (útil para escrever de forma única):
y(t)=3\cos(2t)+4\sin(2t)\,H(t-2\pi).]

Resposta

y(t)=\begin{cases} 3\cos(2t), & 0\le t<2\pi,\\[4pt] 3\cos(2t)+4\sin(2t), & t\ge 2\pi. \end{cases}]

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