Pr: Rosoluer os P.V.I.:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Equação diferencial com impulso:
- Condições iniciais:
O problema pede a solução
do P.V.I. para todo
. Vou usar a ideia de resolver a equação homogênea em dois intervalos (antes e depois do impulso em
) e aplicar a condição de salto na derivada causada pelo termo
.
Passo 2
Resolver a equação homogênea e aplicar as condições iniciais no intervalo
.
Passo técnico rápido sobre a homogênea: a equação associada é
A equação característica é
, cujas raízes são
. Assim a base de soluções é
e
. Logo a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Agora aplicando as condições iniciais em
:
A derivada é
logo em
:
Portanto, para
temos
Passo 3
Avaliar os valores imediatamente antes do impulso (
).
Usando a solução encontrada:
Passo 4
Determinar o efeito do
-impulso: condição de salto na derivada.
Regra prática (e que vamos justificar): ao integrar a equação em um intervalo pequeno que contém
, a contribuição do
aparece como um salto finito na derivada primeira. Faça a integração de ambos os lados em
e depois faça
:
O primeiro termo dá
O segundo termo tende a zero quando
porque
é limitada (produto com intervalo que vai a zero). O lado direito é
. Logo, passando ao limite,
Isto significa que a solução é contínua em
(nenhum salto em
), mas
sofre um salto igual a
.
Passo 5
Calcular
usando o salto encontrado.
Já tínhamos
(do Passo 3). Então
Passo 6
Resolver a homogênea para
e usar as condições em
.
Para
a equação é novamente homogênea
, então a solução tem a forma
Impor continuidade em
e a condição sobre a derivada em
:
- Continuidade:
. Calculando,
logo
.
- Derivada em
: usando a fórmula da derivada,
em
isso dá
Mas já sabemos
. Assim
.
Portanto, para
(ou
com continuidade no ponto),
Passo 7
Escrever a solução global, em forma por partes e também citar uma forma com degrau de Heaviside.
Solução por partes (para
Forma usando a função degrau (H(t-2\pi)] (útil para escrever de forma única):
]