Êstude o sinal das expressões.
Passo 1
O enunciado pede que se estude o sinal da expressão
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão é o produto de dois fatores lineares:
e . - A tarefa é determinar para quais valores de
a expressão é positiva, negativa ou nula.
Passo 2
Começamos encontrando os zeros (raízes) da expressão: são os valores de
que zeram algum dos fatores.
- Resolver
dá . - Resolver
dá .
Portanto a expressão é zero em
e em
.
Passo 3
Explicando a ideia do estudo de sinal (passo-a-passo didático):
- Para um produto de fatores, o sinal do produto depende do sinal de cada fator.
- Cada fator linear
muda de sinal ao passar por sua raiz simples (multiplicidade 1). Aqui ambos os factores são lineares simples, então o sinal da expressão pode mudar ao passar por ou por . - Vamos dividir a reta real em intervalos delimitados por essas raízes e testar o sinal em cada intervalo.
Passo 4
Intervalos a considerar:
,
,
.
Escolho um ponto teste em cada intervalo e calculo os sinais dos fatores e do produto.
Escolho um ponto teste em cada intervalo e calculo os sinais dos fatores e do produto.
- Para
(que está em ):
-
(negativo). -
(positivo). - Produto:
(negativo).
Logo, na faixaa expressão é negativa.
- Para
(que está em ):
-
(positivo). -
(positivo). - Produto:
(positivo).
Logo, ema expressão é positiva.
- Para
(que está em ):
-
(positivo). -
(negativo). - Produto:
(negativo).
Logo, ema expressão é negativa.
Passo 5
Comentário adicional (atalho/algebra): se expandirmos a expressão temos
um polinômio quadrático com coeficiente líder negativo (abre para baixo). As raízes deste quadrático são exatamente
e
, e por isso o sinal será negativo fora do intervalo entre as raízes e positivo entre elas — isto confirma o resultado do quadro de sinais acima.
Resposta
A expressão
é:
em
e
.
Positiva para .
Negativa para e para
.
Positiva para
Negativa para