Êstude o sinal das expressões.
(2 x-1)(3-2 x)

Passo 1

O enunciado pede que se estude o sinal da expressão (2x-1)(3-2x).
Informações dadas:
  • A expressão é o produto de dois fatores lineares: 2x-1 e 3-2x.
  • A tarefa é determinar para quais valores de x a expressão é positiva, negativa ou nula.

Passo 2

Começamos encontrando os zeros (raízes) da expressão: são os valores de x que zeram algum dos fatores.
  • Resolver 2x-1=0 x=\dfrac{1}{2}.
  • Resolver 3-2x=0 x=\dfrac{3}{2}.
Portanto a expressão é zero em x=\dfrac{1}{2} e em x=\dfrac{3}{2}.

Passo 3

Explicando a ideia do estudo de sinal (passo-a-passo didático):
  • Para um produto de fatores, o sinal do produto depende do sinal de cada fator.
  • Cada fator linear ax+b muda de sinal ao passar por sua raiz simples (multiplicidade 1). Aqui ambos os factores são lineares simples, então o sinal da expressão pode mudar ao passar por x=\dfrac{1}{2} ou por x=\dfrac{3}{2}.
  • Vamos dividir a reta real em intervalos delimitados por essas raízes e testar o sinal em cada intervalo.

Passo 4

Intervalos a considerar: (-\infty,\tfrac{1}{2}), (\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}), (\tfrac{3}{2},\infty).
Escolho um ponto teste em cada intervalo e calculo os sinais dos fatores e do produto.
  1. Para x=0 (que está em (-\infty,\tfrac{1}{2})):
  • 2x-1 = 2\cdot 0 -1 = -1 (negativo).
  • 3-2x = 3-2\cdot 0 = 3 (positivo).
  • Produto: (2x-1)(3-2x)=(-1)\cdot 3 = -3 (negativo).
    Logo, na faixa x<\tfrac{1}{2} a expressão é negativa.
  1. Para x=1 (que está em (\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2})):
  • 2x-1 = 2\cdot 1 -1 = 1 (positivo).
  • 3-2x = 3-2\cdot 1 = 1 (positivo).
  • Produto: 1\cdot 1 = 1 (positivo).
    Logo, em \tfrac{1}{2}<x<\tfrac{3}{2} a expressão é positiva.
  1. Para x=2 (que está em (\tfrac{3}{2},\infty)):
  • 2x-1 = 2\cdot 2 -1 = 3 (positivo).
  • 3-2x = 3-2\cdot 2 = -1 (negativo).
  • Produto: 3\cdot(-1) = -3 (negativo).
    Logo, em x>\tfrac{3}{2} a expressão é negativa.

Passo 5

Comentário adicional (atalho/algebra): se expandirmos a expressão temos
(2x-1)(3-2x) = -4x^{2}+8x-3,
um polinômio quadrático com coeficiente líder negativo (abre para baixo). As raízes deste quadrático são exatamente x=\dfrac{1}{2} e x=\dfrac{3}{2}, e por isso o sinal será negativo fora do intervalo entre as raízes e positivo entre elas — isto confirma o resultado do quadro de sinais acima.

Resposta

A expressão (2x-1)(3-2x) é:
0 em x=\dfrac{1}{2} e x=\dfrac{3}{2}.
Positiva para \dfrac{1}{2}<x<\dfrac{3}{2}.
Negativa para x<\dfrac{1}{2} e para x>\dfrac{3}{2}.

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