Descreva o movimento do corpo.
Num sistema massa-mola sem amortecimento, o corpo tem massa m=3 \mathrm{~kg} e a constante elástica da mola é k=9 \mathrm{~N} / \\mathrm{m}.
O sistema está inicialmente em repouso.
Nos instantes t=0 e t=1 aplica-se ao corpo uma força muito grande, de duração muito pequena, que transmite ao corpo um impulso de 6 \mathrm{~N} \ cdotps em t=0 e um impulso de 3 \mathrm{~N} \ cdotps em t=1.

Passo 1

O enunciado pede para descrever o movimento de um corpo numa mola sem amortecimento com as seguintes informações:
  • Massa do corpo: m=3 (kg).
  • Constante elástica da mola: k=9 (N/m).
  • O sistema está inicialmente em repouso antes de t=0.
  • Em t=0 é aplicado um impulso J_0=6 (N·s).
  • Em t=1 é aplicado um impulso J_1=3 (N·s).
    O que se quer é a função deslocamento x(t) (ou descrição equivalente) para todo t\ge0, levando em conta os dois impulsos.

Passo 2

Equação do movimento e solução geral
  • Para um sistema massa-mola sem amortecimento a equação é a equação homogênea
m\,x''(t)+k\,x(t)=0.
  • Definindo a frequência angular natural
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{9}{3}}=\sqrt{3},
a solução geral livre é
x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aqui x(t) é o deslocamento em metros e x'(t)=v(t) é a velocidade em m/s.
Explicação rápida do que significam as variáveis: m é a massa, k a constante da mola, x(t) é o deslocamento a partir do equilíbrio, e \omega é a velocidade angular das oscilações (quanto maior \omega, mais rápidas as oscilações).

Passo 3

Como tratar impulsos instantâneos
  • Um impulso ideal J aplicado em um instante t_0 produz uma variação instantânea da quantidade de movimento:
m\big(v(t_0^+)-v(t_0^-)\big)=J,
onde v(t_0^-) é a velocidade imediatamente antes do impulso e v(t_0^+) é imediatamente depois. O impulso não altera a posição instantaneamente, logo x(t_0^+)=x(t_0^-).
  • Essa regra é o suficiente para “colar” soluções contínuas de x(t) entre os instantes de impulso, mudando apenas a constante relacionada à velocidade.

Passo 4

Aplicando o primeiro impulso em t=0
  • Antes de t=0 o sistema está em repouso, então x(0^-)=0 e v(0^-)=0.
  • O impulso em t=0 é J_0=6. Pela regra do impulso:
v(0^+)=v(0^-)+\frac{J_0}{m}=0+\frac{6}{3}=2\\ \text{m/s}.
  • A posição em t=0 permanece x(0)=0. Usando a forma geral x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t) e impondo x(0)=0 e v(0)=2 obtemos:
    • x(0)=A=0.
    • A derivada é x'(t)=-A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t). Em t=0: x'(0)=B\omega=2, então
    B=\frac{2}{\omega}.
  • Portanto, para o intervalo 0<t<1 (entre os impulsos) a solução é
x(t)=\frac{2}{\omega}\sin(\omega t).
Substituindo \omega=\sqrt{3} se desejar, mas mantenho \omega por enquanto para clareza.

Passo 5

Calcular posição e velocidade imediatamente antes de t=1
  • Usando a solução do intervalo anterior, em t=1^- temos
x(1^-)=\frac{2}{\omega}\sin(\omega\cdot 1)=\frac{2}{\omega}\sin(\omega),
v(1^-)=x'(1^-)=2\cos(\omega\cdot 1)=2\cos(\omega).
Obs.: aqui eu usei explicitamente que x'(t)=\frac{2}{\omega}\cdot\omega\cos(\omega t)=2\cos(\omega t).

Passo 6

Aplicando o segundo impulso em t=1
  • O segundo impulso é J_1=3. Pela regra do impulso:
v(1^+)=v(1^-)+\frac{J_1}{m}=2\cos(\omega)+\frac{3}{3}=2\cos(\omega)+1.
  • A posição é contínua: x(1^+)=x(1^-)=\dfrac{2}{\omega}\sin(\omega).

Passo 7

Solução para t\ge1 a partir das condições em t=1^+
  • Para t\ge1 o movimento de novo é solução livre da equação homogênea. É prático escrever a solução em torno do instante t=1 (uso \tau=t-1\ge0):
x(t)=x(1)\cos\big(\omega (t-1)\big)+\frac{v(1^+)}{\omega}\sin\big(\omega (t-1)\big).
  • Substituindo x(1)=\dfrac{2}{\omega}\sin(\omega) e v(1^+)=2\cos(\omega)+1 obtemos explicitamente, para t\ge1,
x(t)=\frac{2}{\omega}\sin(\omega)\cos\big(\omega (t-1)\big)+\frac{2\cos(\omega)+1}{\omega}\sin\big(\omega (t-1)\big).
Isto descreve a oscilação após o segundo impulso: posição contínua em t=1 e velocidade saltada conforme calculado.

Passo 8

Resumo interpretativo e valores numéricos simples
  • A frequência angular é \omega=\sqrt{3} rad/s, então as oscilações têm período T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{\sqrt{3}}.
  • Em termos práticos:
    • Para 0\le t<1 o corpo executa oscilação simples com amplitude proporcional a 2/\omega e condição inicial de velocidade 2 m/s dada pelo primeiro impulso.
    • Em t=1 a velocidade aumenta instantaneamente em 1 m/s (porque 3/3=1), alterando a combinação das funções seno e cosseno e portanto a amplitude/fase da oscilação a partir de t=1.
  • Se preferir, pode substituir \omega=\sqrt{3} nas fórmulas para obter expressões com números.

Resposta

Para 0\le t<1:
x(t)=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\big(\sqrt{3}\,t\big).
Para t\ge1:
x(t)=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin(\sqrt{3})\cos\big(\sqrt{3}(t-1)\big)+\frac{2\cos(\sqrt{3})+1}{\sqrt{3}}\sin\big(\sqrt{3}(t-1)\big).

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