Descreva o movimento do corpo.
Num sistema massa-mola sem amortecimento, o corpo tem massa
e a constante elástica da mola é
.
O sistema está inicialmente em repouso.
Nos instantes
e
aplica-se ao corpo uma força muito grande, de duração muito pequena, que transmite ao corpo um impulso de
cdotps em
e um impulso de
cdotps em
.
Nos instantes
Passo 1
O enunciado pede para descrever o movimento de um corpo numa mola sem amortecimento com as seguintes informações:
- Massa do corpo:
(kg). - Constante elástica da mola:
(N/m). - O sistema está inicialmente em repouso antes de
. - Em
é aplicado um impulso (N·s). - Em
é aplicado um impulso (N·s).
O que se quer é a função deslocamento(ou descrição equivalente) para todo , levando em conta os dois impulsos.
Passo 2
Equação do movimento e solução geral
- Para um sistema massa-mola sem amortecimento a equação é a equação homogênea
- Definindo a frequência angular natural
a solução geral livre é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aqui
é o deslocamento em metros e
é a velocidade em m/s.
Explicação rápida do que significam as variáveis:
é a massa,
a constante da mola,
é o deslocamento a partir do equilíbrio, e
é a velocidade angular das oscilações (quanto maior
, mais rápidas as oscilações).
Passo 3
Como tratar impulsos instantâneos
- Um impulso ideal
aplicado em um instante produz uma variação instantânea da quantidade de movimento:
onde
é a velocidade imediatamente antes do impulso e
é imediatamente depois. O impulso não altera a posição instantaneamente, logo
.
- Essa regra é o suficiente para “colar” soluções contínuas de
entre os instantes de impulso, mudando apenas a constante relacionada à velocidade.
Passo 4
Aplicando o primeiro impulso em
- Antes de
o sistema está em repouso, então e . - O impulso em
é . Pela regra do impulso:
- A posição em
permanece . Usando a forma geral e impondo e obtemos: -
. - A derivada é
. Em : , então
-
- Portanto, para o intervalo
(entre os impulsos) a solução é
Substituindo
se desejar, mas mantenho
por enquanto para clareza.
Passo 5
Calcular posição e velocidade imediatamente antes de
- Usando a solução do intervalo anterior, em
temos
Obs.: aqui eu usei explicitamente que
.
Passo 6
Aplicando o segundo impulso em
- O segundo impulso é
. Pela regra do impulso:
- A posição é contínua:
.
Passo 7
Solução para
a partir das condições em
- Para
o movimento de novo é solução livre da equação homogênea. É prático escrever a solução em torno do instante (uso ):
- Substituindo
e obtemos explicitamente, para ,
Isto descreve a oscilação após o segundo impulso: posição contínua em
e velocidade saltada conforme calculado.
Passo 8
Resumo interpretativo e valores numéricos simples
- A frequência angular é
rad/s, então as oscilações têm período . - Em termos práticos:
- Para
o corpo executa oscilação simples com amplitude proporcional a e condição inicial de velocidade m/s dada pelo primeiro impulso. - Em
a velocidade aumenta instantaneamente em m/s (porque ), alterando a combinação das funções seno e cosseno e portanto a amplitude/fase da oscilação a partir de .
- Para
- Se preferir, pode substituir
nas fórmulas para obter expressões com números.
Resposta
Para
:
Para
: