Em uma praça de São Paulo, todos os dias a guarda municipal altura os carros ali estacionados de acordo com as infrações cometidas. A receita correspondente as multas segue uma distribuição aleatória com média de \mathrm{R} \ 4000,00e variância de\mathrm{R} $$
1.600.000,00. Qual a probabilidade da receita média diária seja maior de \mathrm{R} \ 4.800,00$, durante um ano equivalente a 225 dias? Estimar pela normal Z.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que a receita média diária, calculada ao longo de um ano de 225 dias, seja maior que \mathrm{R}\$\,4.800,00. As informações fornecidas são:
A pergunta específica que vamos responder é:
Qual é \Pr\big(\overline{X} > \mathrm{R}\$\,4.800{,}00\big) onde \overline{X} é a média das receitas diárias em n=225 dias?
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática): quando tiramos uma amostra de tamanho n das observações diárias e calculamos a média amostral \overline{X}, a distribuição de \overline{X} tem média \mu_{\overline{X}}=\mu e variância \sigma_{\overline{X}}^{2}=\sigma^{2}/n. Ou seja, a média amostral varia em torno da média populacional com uma “variabilidade reduzida” pela amostra. Escrevendo:
\mu_{\overline{X}}=\mu
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
A justificativa de usar a aproximação normal é o Teorema do Limite Central: para n grande (aqui n=225 é grande), a distribuição de \overline{X} pode ser aproximada por uma normal, mesmo que a distribuição original das receitas não seja normal. Ou seja:
Observação numérica elegante: podemos verificar que Z^{2}=\dfrac{800^{2}\cdot 225}{1.600.000}=90, então Z=\sqrt{90}\approx 9{,}4868.
Passo 6
Agora precisamos da probabilidade da cauda direita da normal padrão para Z>9{,}4868. Isso é extremamente pequeno. Usamos a aproximação assintótica (fórmula de Mills) para caudas muito grandes:
Interpretação: essa probabilidade é praticamente zero — na prática não se espera observar uma média tão alta só por acaso.
Passo 7
Confirmei os passos: uso do Teorema do Limite Central (porque n=225 é grande), cálculo do erro padrão \sigma_{\overline{X}}, padronização para Z e uso da aproximação para cauda da normal para obter um valor numérico final muito pequeno.