1. Em uma praça de São Paulo, todos os dias a guarda municipal altura os carros ali estacionados de acordo com as infrações cometidas. A receita correspondente as multas segue uma distribuição aleatória com média de \mathrm{R} \ 4000,00 e variância deâ\mathrm{R} $$
    1.600.000,00. Qual a probabilidade da receita média diária seja maior de \mathrm{R} \ 4.800,00$, durante um ano equivalente a 225 dias? Estimar pela normal Z.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a receita média diária, calculada ao longo de um ano de 225 dias, seja maior que \mathrm{R}\$\,4.800,00. As informações fornecidas são:
\text{média populacional: }\mu = \mathrm{R}\$\,4.000{,}00é
\text{variância populacional: }\sigma^{2} = \mathrm{R}\$\,1.600.000{,}00â
\text{tamanho da amostra (dias): }n = 225
A pergunta específica que vamos responder é:
Qual é \Pr\big(\overline{X} > \mathrm{R}\$\,4.800{,}00\big) onde \overline{X} é a média das receitas diárias em n=225 dias?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): quando tiramos uma amostra de tamanho n das observações diárias e calculamos a média amostral \overline{X}, a distribuição de \overline{X} tem média \mu_{\overline{X}}=\mu e variância \sigma_{\overline{X}}^{2}=\sigma^{2}/n. Ou seja, a média amostral varia em torno da média populacional com uma “variabilidade reduzida” pela amostra. Escrevendo:
\mu_{\overline{X}}=\mu
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
A justificativa de usar a aproximação normal é o Teorema do Limite Central: para n grande (aqui n=225 é grande), a distribuição de \overline{X} pode ser aproximada por uma normal, mesmo que a distribuição original das receitas não seja normal. Ou seja:
\overline{X}\approx N\!\left(\mu,\;\frac{\sigma^{2}}{n}\right)

Passo 3

Vamos calcular o desvio padrão populacional \sigma a partir da variância dada:
\sigma = \sqrt{\sigma^{2}} = \sqrt{1.600.000} = 1264{,}911\quad(\text{aprox.})
Expliquei: a raiz quadrada da variância dá o desvio padrão, que mede a dispersão em unidades de reais.

Passo 4

Calcular o erro padrão (desvio padrão da média amostral):
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{1264{,}911}{\sqrt{225}}=\frac{1264{,}911}{15}=84{,}327\quad(\text{aprox.})
Interpretação: em média, a média amostral \overline{X} “oscila” cerca de \mathrm{R}\$\,84{,}33 em torno de \mu.

Passo 5

Padronizar o evento \overline{X} > 4.800 usando a variável Z da normal padrão:
Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma_{\overline{X}}}
Então
\Pr\big(\overline{X}>4.800\big)=\Pr\!\left(Z>\frac{4800-4000}{84{,}327}\right)=\Pr\!\left(Z> \frac{800}{84{,}327}\right).
Calculemos o valor numérico do Z:
\frac{800}{84{,}327}\approx 9{,}4868.
Observação numérica elegante: podemos verificar que Z^{2}=\dfrac{800^{2}\cdot 225}{1.600.000}=90, então Z=\sqrt{90}\approx 9{,}4868.

Passo 6

Agora precisamos da probabilidade da cauda direita da normal padrão para Z>9{,}4868. Isso é extremamente pequeno. Usamos a aproximação assintótica (fórmula de Mills) para caudas muito grandes:
\Pr(Z>z)\approx \frac{1}{z\sqrt{2\pi}}\,e^{-z^{2}/2}\quad\text{para }z\text{ grande.}
Aplicando com z=\sqrt{90}:
e^{-z^{2}/2}=e^{-90/2}=e^{-45}\approx 2{,}8625\times10^{-20}
e
z\sqrt{2\pi}\approx 9{,}4868\times 2{,}506628\approx 23{,}78.
Logo
\Pr(Z>9{,}4868)\approx \frac{2{,}8625\times10^{-20}}{23{,}78}\approx 1{,}20\times10^{-21}.
Interpretação: essa probabilidade é praticamente zero — na prática não se espera observar uma média tão alta só por acaso.

Passo 7

Confirmei os passos: uso do Teorema do Limite Central (porque n=225 é grande), cálculo do erro padrão \sigma_{\overline{X}}, padronização para Z e uso da aproximação para cauda da normal para obter um valor numérico final muito pequeno.

Resposta

\Pr(\overline{X}> \mathrm{R}\$\,4.800{,}00)\approx 1{,}2\times10^{-21}

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