Uma prancha horizontal de massa m e comprimento L está articulada em uma extremidade. A outra extremidade da prancha é sustentada por uma mola cuja constante de força é k. Sabendo que o momento de inércia da prancha é
e que ela é inicialmente deslocada de um ângulo
depois liberada,
a) Demonstre que a prancha realiza movimento harmônico simples com frequência angular
.
b) calcule a frequência se a massa for
e a mola tiver constante de força de 100N/m.
a) Demonstre que a prancha realiza movimento harmônico simples com frequência angular
b) calcule a frequência se a massa for
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma prancha que está presa em uma das pontas e na outra está conectada a uma mola. A massa da prancha é $ m $ e o comprimento dela é $ L $. A mola tem uma constante de força $ k $. Quando a prancha é puxada formando um ângulo $ \theta $ e depois solta, ela vai oscilar. Nosso objetivo aqui é mostrar que esse movimento é um movimento harmônico simples (MHS) e encontrar a frequência angular dessa oscilação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e torque na rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o movimento harmônico simples é aquele onde a força de restauração é proporcional ao deslocamento e atua na direção oposta. No caso da prancha, a mola fornece essa força de restauração. Quando a prancha está inclinada, a mola se deforma e cria um torque que tenta trazer a prancha de volta à posição de equilíbrio.
Passo 3
Vamos calcular o torque fornecido pela mola. O torque ($ \tau $) é dado por:
Aqui, o sinal negativo indica que o torque está na direção oposta ao deslocamento.
Passo 4
Sabemos que o torque também está relacionado ao momento de inércia ($ I
\alpha $) pela segunda lei de Newton para rotação:
E como a aceleração angular é a segunda derivada do ângulo em relação ao tempo ($ \alpha = \frac{d2\theta}{dt2} $), podemos escrever:
Passo 5
Agora, vamos rearranjar a equação para obter a forma padrão do movimento harmônico simples:
Essa é a equação diferencial do MHS, onde o coeficiente de $ \theta $ é $ \omega^2 $, sendo $ \omega $ a frequência angular.
Passo 6
Comparando com a equação padrão $ \frac{d2\theta}{dt2} + \omega^2 \theta = 0 $, podemos identificar que:
Logo,
Passo 7
Sabemos que o momento de inércia $ I $ da prancha é dado por:
Substituindo isso na expressão da $ \omega $:
Mas, para simplificar ainda mais, considerando que a mola está no final da prancha ($ L $), o comprimento $ L $ cancela, e a expressão fica:
Resposta
A prancha realiza um movimento harmônico simples com frequência angular $ \omega = \sqrt{\frac{3k}{m}} $. Quando a massa é $ 5,0 , kg $ e a constante da mola é $ 100 , N/m $, a frequência angular é: