1. Em que prazo uma aplicação de \mathrm{R} \ 500.000,00 possibilita o resgate de\mathrm{R} $614.000,00 à taxa deà7,2 %$ ao mês?

Passo 1

O problema trata de juros compostos e pede o prazo n (em meses) para que um capital presente de \mathrm{R}\$\,500.000 cresça até \mathrm{R}\$\,614.000 à taxa de 7,2\% ao mês.

Passo 2

Na capitalização composta, o valor futuro F se relaciona com o valor presente P, a taxa de juros mensal i e o número de períodos n pela fórmula
F = P \, (1 + i)^{n}.

Passo 3

Para encontrar n, isolamos essa variável por meio de logaritmos. Começamos dividindo ambos os lados por P:
\frac{F}{P} = (1 + i)^{n}.
Agora aplicamos logaritmo natural em cada lado e isolamos n:
n = \frac{\ln\!\bigl(\tfrac{F}{P}\bigr)}{\ln(1 + i)}.

Passo 4

Substituindo F = 614.000, P = 500.000 e i = 0,072:
n = \frac{\ln\!\bigl(\tfrac{614.000}{500.000}\bigr)}{\ln(1{+}0,072)} = \frac{\ln(1,228)}{\ln(1,072)} \approx \frac{0,2052}{0,0696} \approx 2,95.

Resposta

O prazo necessário é de aproximadamente 2,95 meses, ou seja, cerca de 3 meses.

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