Pré-Cálculo, Francisco Magalhães Gomes Verifique algebricamente se as equações a seguir permitem a definição da variável y como uma função da variável x.
x-y^{2}+4=0

Passo 1

O enunciado pede, para a equação
x - y^{2} + 4 = 0,
verificar algebricamente se podemos escrever y como função de x. O conteúdo envolvido é o de funções implícitas: precisamos isolar y em termos de x.

Passo 2

Isolando o termo y^{2}, temos
y^{2} = x + 4.

Passo 3

Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos
y = \pm\sqrt{x + 4}.
Para que isso faça sentido no conjunto dos números reais, é preciso ter x + 4 \ge 0, ou seja, x \ge -4.

Passo 4

Repare que para cada x\ge -4 existem dois valores de y: um positivo e um negativo. Assim, não há uma única correspondência de x em y sem escolher qual dos dois sinais vamos usar.

Passo 5

Se quisermos definir y como função de x, precisamos separar em dois ramos distintos, por exemplo:
y_{1}(x) = \sqrt{x + 4}, \qquad y_{2}(x) = -\,\sqrt{x + 4},
ambos com domínio \{x\mid x\ge -4\}. Cada um desses é de fato uma função de x, mas não há como juntar os dois em uma única função bem-definida.

Resposta

A equação não define y como uma única função de x globalmente; ela gera dois ramos
y = +\sqrt{x+4} \quad\text{e}\quad y = -\sqrt{x+4},
com domínio x\ge -4.

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