Pré-Cálculo, Francisco Magalhães Gomes Verifique algebricamente se as equações a seguir permitem a definição da variável y como uma função da variável x.
\sqrt{x-2}+y=3

Passo 1

O enunciado pede para vermos, de forma puramente algébrica, se em cada uma das duas equações abaixo é possível isolar y em termos de x de modo a obter uma única expressão (ou seja, uma única “regra de correspondência” y=f(x)). As equações são
\sqrt{x-2} + y = 3
e a equação que descreve um círculo (representada na figura).

Passo 2

Para a primeira equação
\sqrt{x-2} + y = 3,
vamos isolar y. Subtraindo \sqrt{x-2} de ambos os lados, obtemos
y = 3 - \sqrt{x-2}.
Aqui sobra uma única expressão para y. A única restrição é que o radical esteja definido, isto é,
x-2 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 2.
Portanto, sobre o domínio [2,\infty), y=3-\sqrt{x-2} define y como função de x.

Passo 3

Para a segunda equação, que é a equação de um círculo centrado na origem (vamos supor de raio R), temos
x^2 + y^2 = R^2.
Isolando y^2
y^2 = R^2 - x^2 \quad\Longrightarrow\quad y = \pm\sqrt{R^2 - x^2}.
Isso produz duas expressões (o sinal + e o sinal -), ou seja, para um mesmo x temos dois valores de y. Logo, não há como obter uma única regra y=f(x) que cubra todo o círculo.

Resposta

Para \sqrt{x-2}+y=3: sim. Isolando,
y = 3 - \sqrt{x-2},\quad x\ge2.
Para a equação do círculo x^2+y^2=R^2: não, pois ao isolar y surge
y = +\sqrt{R^2 - x^2} \quad\text{ou}\quad y = -\sqrt{R^2 - x^2},
duas “ramificações” em vez de uma única função.

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