Pré-Cálculo: Prof Rafael
Lista de exercicios 2: Expressões e Equações Algébricas
Determine todas as raízes reais da equação polinomial x^{5}-4 x^{4}+8 x^{3}-8 x^{2}+4 x-1=0.

Passo 1

O enunciado pede as raízes reais da equação
x^{5}-4x^{4}+8x^{3}-8x^{2}+4x-1=0.
O conteúdo é resolução de polinômio de grau 5. Vamos usar o Teorema das Raízes Racionais para achar raízes óbvias, dividir o polinômio e estudar a parte restante.

Passo 2

Pelos candidatos do Teorema das Raízes Racionais, só podem ser divisores de -1, isto é, x=\pm1. Testando x=1:
1^{5}-4\cdot1^{4}+8\cdot1^{3}-8\cdot1^{2}+4\cdot1-1 =1-4+8-8+4-1=0.
Logo, x=1 é raiz.

Passo 3

Fazendo divisão sintética de
x^{5}-4x^{4}+8x^{3}-8x^{2}+4x-1
por (x-1), obtemos o quociente
x^{4}-3x^{3}+5x^{2}-3x+1
e resto zero. Assim
x^{5}-4x^{4}+8x^{3}-8x^{2}+4x-1=(x-1)\bigl(x^{4}-3x^{3}+5x^{2}-3x+1\bigr).

Passo 4

O polinômio de quarto grau é palindrômico (coeficientes simétricos). Dividimos por x^{2} (note que x=0 não é raiz porque o termo constante é -1) e usamos a substituição
t = x + \frac1x.
Escrevendo
x^{4}-3x^{3}+5x^{2}-3x+1 = x^{2}\Bigl(\underbrace{x^{2} -3x +5 -3x^{-1} +x^{-2}}_{=\,t^{2}-3t+3}\Bigr),
vemos que as raízes satisfazem
t^{2}-3t+3=0.
O discriminante é \Delta =(-3)^{2}-4\cdot1\cdot3=9-12=-3<0, logo não há solução real para t. Isso implica que o quarto grau não gera raízes reais.

Resposta

A única raiz real da equação é
\boxed{x=1.}

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