Determine a taxa de variação máxima de f no ponto P dado e a direção em que isso ocorre.
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right), P=(1,1).

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação máxima de f(x,y)=\ln\bigl(x^2+y^2\bigr) no ponto P=(1,1) e a direção em que isso ocorre. O conteúdo necessário é o gradiente de f, pois a direção de máximo crescimento é dada por \nabla f e seu módulo é a magnitude dessa taxa.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f. Seja u(x,y)=x^2+y^2, então f(x,y)=\ln u e
\nabla f=\frac{1}{u}\nabla u.
Como
\nabla u=\bigl(2x,\,2y\bigr),
temos
\nabla f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}\,(2x,\,2y)=\Bigl(\frac{2x}{x^2+y^2},\,\frac{2y}{x^2+y^2}\Bigr).

Passo 3

Avaliamo-s \nabla f em P=(1,1). Como 1^2+1^2=2,
\nabla f(1,1)=\Bigl(\frac{2\cdot1}{2},\,\frac{2\cdot1}{2}\Bigr)=(1,1).
A taxa de variação máxima é o módulo desse vetor:
\|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.

Passo 4

A direção do máximo crescimento é a direção de \nabla f(1,1). Normalizando (1,1), obtemos
\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)=\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}},\,\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).

Resposta

A taxa de variação máxima em P é \sqrt{2} e ocorre na direção \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).

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