Uma precipitação de duração de 5 horas, uniformemente distribuída sobre uma bacia hidrográfica com área de 25 \mathrm{~km}^{2}, teve a distribuição temporal indicada na tabela abaixo. Empregar a fórmula da capacidade de infiltração de Horton para calcular:
a) A chuva efetiva sobre a bacia (mm).
b) O volume infiltrado ( \mathrm{m}^{3} ).
c) O volume de escoamento superficial.
d) O coeficiente de escoamento superficial.
Tempo (h) 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5
Intensidade de chuva 6 20 18 2 16
(\mathrm{~mm} / \mathrm{h})
\mathrm{f}_{\mathrm{p}}=\mathrm{f}_{\mathrm{c}}+\left(\mathrm{f}_{0}-\mathrm{f}_{\mathrm{c}}\right) \cdot \exp (-\mathrm{kt}). Parâmetros da fórmula de Horton: \mathrm{f}_{0}=16,0 \mathrm{~mm} / \mathrm{h} ; \mathrm{f}_{\mathrm{c}}=5,5 \mathrm{~mm} / \mathrm{h} e \mathrm{k}=0,30

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os números do enunciado).
  • Duração total da chuva: 5 horas, distribuída em cinco intervalos de 1 hora cada: 0\!-\!1, 1\!-\!2, 2\!-\!3, 3\!-\!4, 4\!-\!5.
  • Área da bacia: 25\\ \mathrm{km}^2.
  • Intensidade de chuva em cada hora (em \mathrm{mm/h}):
    • 0\!-\!1:\;6
    • 1\!-\!2:\;20
    • 2\!-\!3:\;18
    • 3\!-\!4:\;2
    • 4\!-\!5:\;16
  • Fórmula da capacidade de infiltração de Horton: f_p(t)=f_c+(f_0-f_c)\,e^{-kt}.Parâmetros dados: f_0=16{,}0\\ \mathrm{mm/h}, f_c=5{,}5\\ \mathrm{mm/h}, k=0{,}30\\ \mathrm{h^{-1}}.
  • O enunciado pede:
    (a) a chuva efetiva sobre a bacia (em \mathrm{mm});
    (b) o volume infiltrado (em \mathrm{m}^3);
    (c) o volume de escoamento superficial (em \mathrm{m}^3);
    (d) o coeficiente de escoamento superficial (adimensional).

Passo 2

Entendendo o procedimento (aula rápida e prática).
  • Interpretação física da fórmula: f_p(t) é a capacidade máxima de infiltração naquele instante t (em \mathrm{mm/h}). Se a chuva tem intensidade i(t) maior que f_p(t), a infiltração real naquele instante é limitada por f_p(t) e o excesso vira escoamento superficial; se i(t)\le f_p(t), toda a chuva infiltra.
  • Como a chuva é dada por horas com intensidade constante em cada hora, para cada intervalo [a,b] de uma hora:
    • Se f_p(t) \ge i para todo t\in[a,b], então toda a chuva infiltra naquele intervalo: infiltração = i\cdot (b-a).
    • Se f_p(t) \le i para todo t\in[a,b], então a infiltração no intervalo é a integral da capacidade: I_{a\to b}=\int_a^b f_p(t)\,dt.
    • Como f_p(t) decresce monotonicamente (exponencial decaindo), basta checar os valores de f_p nas extremidades do intervalo para saber qual caso ocorre (ou se há cruzamento, aí teria que achar o tempo de cruzamento). Vou usar essa abordagem (é a mais prática em prova).

Passo 3

Calcular f_p(t) nos instantes t=0,1,2,3,4,5 (em horas desde o início).
  • A fórmula com os números fica: f_p(t)=5{,}5 + 10{,}5\,e^{-0{,}3t}.
  • Avaliando: f_p(0)=5{,}5+10{,}5\cdot e^{0}=16{,}0\\ \mathrm{mm/h}.
f_p(1)=5{,}5+10{,}5\,e^{-0{,}3}\approx 13{,}2788\\ \mathrm{mm/h}.
f_p(2)=5{,}5+10{,}5\,e^{-0{,}6}\approx 11{,}2625\\ \mathrm{mm/h}.
f_p(3)=5{,}5+10{,}5\,e^{-0{,}9}\approx 9{,}7685\\ \mathrm{mm/h}.
f_p(4)=5{,}5+10{,}5\,e^{-1{,}2}\approx 8{,}6635\\ \mathrm{mm/h}.
f_p(5)=5{,}5+10{,}5\,e^{-1{,}5}\approx 7{,}8479\\ \mathrm{mm/h}.
  • Observação prática (útil em prova): em todos os instantes calculados acima f_p é maior que 6 (intervalo 0\!-\!1) e maior que 2 (intervalo 3\!-\!4), mas é menor do que 20,18,16 nos intervalos 1\!-\!2, 2\!-\!3, 4\!-\!5. Assim:
    • Nos intervalos 0\!-\!1 e 3\!-\!4 toda a chuva infiltra.
    • Nos intervalos 1\!-\!2, 2\!-\!3, 4\!-\!5 a infiltração é limitada por f_p(t) e temos que integrar f_p nesses intervalos.

Passo 4

Calcular a infiltração em cada intervalo.
  • Primeiro escrevo a integral genérica (útil para a prova): \int_a^b f_p(t)\,dt=\int_a^b\bigl(f_c+(f_0-f_c)e^{-kt}\bigr)\,dt =f_c(b-a)+\frac{f_0-f_c}{k}\bigl(e^{-ka}-e^{-kb}\bigr).Aqui f_c=5{,}5, f_0-f_c=10{,}5, k=0{,}3 e (b-a)=1 hora em cada caso.
  • Intervalo 0\!-\!1 ( i=6\\ \mathrm{mm/h}): f_p(t)\ge 6 em todo intervalo, logo toda a chuva infiltra: I_{0\to1}=6\\ \mathrm{mm}.
  • Intervalo 1\!-\!2 ( i=20\\ \mathrm{mm/h}): f_p(t)<20 em todo intervalo, então I_{1\to2}=5{,}5\cdot1+\frac{10{,}5}{0{,}3}\bigl(e^{-0{,}3\cdot1}-e^{-0{,}3\cdot2}\bigr).Calculemos numericamente: I_{1\to2}=5{,}5+35\bigl(e^{-0{,}3}-e^{-0{,}6}\bigr)\approx 12{,}22023046056922\\ \mathrm{mm}.
  • Intervalo 2\!-\!3 ( i=18\\ \mathrm{mm/h}): semelhante, I_{2\to3}=5{,}5+35\bigl(e^{-0{,}6}-e^{-0{,}9}\bigr)\approx 10{,}478469172369945\\ \mathrm{mm}.
  • Intervalo 3\!-\!4 ( i=2\\ \mathrm{mm/h}): f_p(t)\ge 2 em todo intervalo, então toda a chuva infiltra: I_{3\to4}=2\\ \mathrm{mm}.
  • Intervalo 4\!-\!5 ( i=16\\ \mathrm{mm/h}): f_p(t)<16 em todo intervalo, então I_{4\to5}=5{,}5+35\bigl(e^{-1{,}2}-e^{-1{,}5}\bigr)\approx 8{,}23224181173202\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Somar as infiltrações e obter o escoamento por diferença.
  • Soma das infiltrações (profundidade total infiltrada ao longo dos 5 h): I_{\mathrm{tot}}=6+12{,}22023046056922+10{,}478469172369945+2+8{,}23224181173202 \approx 38{,}930941444671185\\ \mathrm{mm}.
  • Chuva total (profundidade): P_{\mathrm{tot}}=6+20+18+2+16=62\\ \mathrm{mm}.
  • Chuva efetiva (profundidade de escoamento): P_{\mathrm{ef}}=P_{\mathrm{tot}}-I_{\mathrm{tot}} \approx 62-38{,}930941444671185 \approx 23{,}069058555328815\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Converter profundidades em volumes usando a área da bacia.
  • Converter unidades: 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}. Área: A=25\\ \mathrm{km}^2 =25\times 10^{6}\\ \mathrm{m}^2.
  • Volume infiltrado: V_{\mathrm{infil}}=I_{\mathrm{tot}}\times 10^{-3}\times A \approx 0{,}038930941444671185\times 25\times 10^{6} \approx 973\,273{,}5361167796\\ \mathrm{m}^3.
  • Volume de escoamento superficial: V_{\mathrm{esco}}=P_{\mathrm{ef}}\times 10^{-3}\times A \approx 0{,}023069058555328815\times 25\times 10^{6} \approx 576\,726{,}4638832204\\ \mathrm{m}^3.
  • Checagem rápida: V_{\mathrm{infil}}+V_{\mathrm{esco}}\approx 1{,}55\times 10^{6}\\ \mathrm{m}^3, que é o volume da chuva 62\times10^{-3}\times25\times10^{6}=1{,}55\times10^{6}\\ \mathrm{m}^3. Ótimo — tudo bate.

Passo 7

Calcular o coeficiente de escoamento superficial (adimensional).
  • Definição prática: C=\frac{P_{\mathrm{ef}}}{P_{\mathrm{tot}}}=\frac{23{,}069058555328815}{62}\approx 0{,}372082559274.

Resposta

a) 23{,}069\\ \mathrm{mm}
b) 973\,274\\ \mathrm{m}^3
c) 576\,726\\ \mathrm{m}^3
d) 0{,}3721

Exercícios relacionados