Os dados de equilíbrio Líquido-Vapor referem-se ao sistema 2-metoxietanol e água, na pressão de 1atm.
x 0 0,039 0,098 0,176 0,235 0,373 0,549 0,725 0,980 1
y 0 0,118 0,259 0,402 0,485 0,628 0,748 0,833 0,980 1
T(K) 397,2 394,5 390,9 387,0 384,6 380,2 376,4 374,1 372,7 372,7
A temperatura de ebulição do 2 -metoxietanol é 126^{\circ} \mathrm{C}. Considerando inicialmente como um gráfico puramente cartesiano e justificando sua resposta, estabeleça o estado físico do sistema para os seguintes pontos:
\mathrm{A}=(0,2 ; 375), \mathrm{B}=(0,35 ; 385), \mathrm{C}=(0,35 ; 395). (10)

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que ele dá.
  • O enunciado pede: para os pontos \mathrm{A}=(0,2 ; 375), \mathrm{B}=(0,35 ; 385) e \mathrm{C}=(0,35 ; 395) (onde o primeiro número é a composição x e o segundo é a temperatura T em K) estabelecer o estado físico do sistema (líquido, vapor ou mistura líquido+vapor), justificando.
  • Dados fornecidos (pegados da tabela do enunciado):
    • Pares de equilíbrio líquido-vapor (x,\;y,\;T) em 1\\ \text{atm}. Exemplos relevantes extraídos da tabela:
      • (x=0,176,\;y=0,402,\;T=387,0\\ \text{K})
      • (x=0,235,\;y=0,485,\;T=384,6\\ \text{K})
      • (x=0,373,\;y=0,628,\;T=380,2\\ \text{K})
      • Também há os extremos: (x=0,\;y=0,\;T=397,2\\ \text{K}) e (x=1,\;y=1,\;T=372,7\\ \text{K}).
    • A temperatura de ebulição do 2‑metoxietanol puro é 126^\circ\mathrm{C}, ou seja 399,15\\ \text{K} (informação fornecida).
  • Observação sobre interpretação dos símbolos: na tabela x é a fração molar do componente considerado no líquido e y é a fração molar no vapor; T é a temperatura de equilíbrio na qual o líquido de composição x coexistiria com o vapor de composição y.

Passo 2

Conceitos básicos de equilíbrio líquido‑vapor e como usar o gráfico cartesiano T versus composição.
  • Definição de curva de bolha (bubble line): para cada composição líquida \,x existe uma temperatura de bolha T_\text{bolha}(x) à qual o líquido começa a ferver e aparece a primeira bolha de vapor. Na tabela, os pares (x,T) fornecem pontos da curva de bolha.
  • Definição de curva de orvalho (dew line): para cada composição do vapor \,y existe uma temperatura de orvalho T_\text{orvalho}(y) à qual o vapor começa a condensar. Na tabela, os pares (y,T) fornecem pontos da curva de orvalho, que podem ser plotados no mesmo eixo de composição (usando o valor de y como abscissa).
  • Interpretação geométrica em um gráfico T versus composição (onde no eixo horizontal se coloca a fração molar variando de 0 a 1):
    • Se o ponto (\text{composição},T)çã está abaixo da curva de bolha e abaixo da curva de orvalho ⇒ sistema em fase líquida (subresfriado).
    • Se o ponto está entre as curvas de bolha e orvalho ⇒ coexistência líquido + vapor.
    • Se o ponto está acima da curva de orvalho e acima da curva de bolha ⇒ sistema em fase vapor (saturado ou superaquecido).
  • Plano de ação prático para cada ponto (x,T) do enunciado:
    1. Encontrar T_\text{bolha} correspondente a essa abscissa x (interpolando na coluna x da tabela).
    2. Encontrar T_\text{orvalho} correspondente a essa abscissa x — isto é, procurar na tabela o ponto onde y vale essa abscissa x (interpolando na coluna y para obter T em função de y). Assim obtemos as duas curvas no mesmo eixo de composição.
    3. Comparar a temperatura dada com T_\text{bolha} e T_\text{orvalho} para decidir a fase.

Passo 3

Método de interpolação linear (fórmula) usado nos cálculos numéricos.
  • Quando o valor exato de x ou y não está tabulado, usa‑se interpolação linear entre os dois pontos vizinhos. Se entre dois pontos (u_1,T_1) e (u_2,T_2) se quer T em u com u_1\le u\le u_2, a interpolação linear é:
T(u)=T_1+\frac{u-u_1}{u_2-u_1}\,(T_2-T_1).
  • Explicando as variáveis:
    • u é a abscissa onde se quer o valor (pode ser x ou y);
    • u_1,u_2 são as abscissas conhecidas que cercam u;
    • T_1,T_2 são as temperaturas correspondentes a u_1,u_2.
  • A interpolação linear é adequada aqui porque os pontos da tabela são relativamente próximos e o enunciado pede uma análise cartesianamente simples.

Passo 4

Cálculo para o ponto A: \mathrm{A}=(0,2 ; 375).
  • Queremos T_\text{bolha} para x=0,2. Na tabela os x mais próximos são x_1=0,176 com T_1=387,0\\ \text{K} e x_2=0,235 com T_2=384,6\\ \text{K}.
  • Aplicando interpolação com u=x=0,2:
T_\text{bolha}(0,2)=387,0+\frac{0,2-0,176}{0,235-0,176}\,(384,6-387,0).
Calculemos passo a passo:
\frac{0,2-0,176}{0,235-0,176}=\frac{0,024}{0,059}\approx0,4068,
384,6-387,0=-2,4,
T_\text{bolha}(0,2)\approx387,0+0,4068\times(-2,4)\approx387,0-0,976\approx386,02\\ \text{K}.
  • Agora T_\text{orvalho} para a abscissa x=0,2 significa: procurar na tabela o T correspondente a y=0,2 (porque a curva de orvalho é dada em função de y). Os y mais próximos são y_1=0,118 com T_1=394,5\\ \text{K} e y_2=0,259 com T_2=390,9\\ \text{K}.
T_\text{orvalho}(y=0,2)=394,5+\frac{0,2-0,118}{0,259-0,118}\,(390,9-394,5).
Calculemos:
\frac{0,2-0,118}{0,259-0,118}=\frac{0,082}{0,141}\approx0,5816,
390,9-394,5=-3,6,
T_\text{orvalho}(0,2)\approx394,5+0,5816\times(-3,6)\approx394,5-2,094\approx392,41\\ \text{K}.
  • Comparação com a temperatura do ponto A: T_A=375\\ \text{K}.
    • Observa‑se que T_A=375\\ \text{K} é muito menor que T_\text{bolha}(0,2)\approx386,02\\ \text{K} e também que T_\text{orvalho}(0,2)\approx392,41\\ \text{K}.
  • Conclusão para A: o ponto está abaixo de ambas as curvas ⇒ estado físico: fase líquida (subresfriado).

Passo 5

Cálculo para o ponto B: \mathrm{B}=(0,35 ; 385).
  • Primeiro T_\text{bolha} para x=0,35. Na tabela os x mais próximos são x_1=0,235 com T_1=384,6\\ \text{K} e x_2=0,373 com T_2=380,2\\ \text{K}.
T_\text{bolha}(0,35)=384,6+\frac{0,35-0,235}{0,373-0,235}\,(380,2-384,6).
Calculemos:
\frac{0,35-0,235}{0,373-0,235}=\frac{0,115}{0,138}\approx0,8333,
380,2-384,6=-4,4,
T_\text{bolha}(0,35)\approx384,6+0,8333\times(-4,4)\approx384,6-3,6667\approx380,93\\ \text{K}.
  • Agora T_\text{orvalho} para abscissa x=0,35 (isto é, procurar y=0,35 na tabela). Nos y temos y_1=0,259 com T_1=390,9\\ \text{K} e y_2=0,402 com T_2=387,0\\ \text{K}.
T_\text{orvalho}(0,35)=390,9+\frac{0,35-0,259}{0,402-0,259}\,(387,0-390,9).
Calculemos:
\frac{0,35-0,259}{0,402-0,259}=\frac{0,091}{0,143}\approx0,6364,
387,0-390,9=-3,9,
T_\text{orvalho}(0,35)\approx390,9+0,6364\times(-3,9)\approx390,9-2,482\approx388,42\\ \text{K}.
  • Comparação com T_B=385\\ \text{K}:
    • Temos T_\text{bolha}(0,35)\approx380,93\\ \text{K} e T_\text{orvalho}(0,35)\approx388,42\\ \text{K}.
    • A temperatura T_B=385\\ \text{K} situa‑se entre T_\text{bolha} e T_\text{orvalho}: 380,93\\ \text{K}<385\\ \text{K}<388,42\\ \text{K}.
  • Conclusão para B: o ponto está entre as curvas ⇒ coexistência líquido + vapor (duas fases).

Passo 6

Cálculo para o ponto C: \mathrm{C}=(0,35 ; 395).
  • Para x=0,35 já temos os valores calculados:
    • T_\text{bolha}(0,35)\approx380,93\\ \text{K}.
    • T_\text{orvalho}(0,35)\approx388,42\\ \text{K}.
  • Comparação com T_C=395\\ \text{K}:
    • Observa‑se T_C=395\\ \text{K} > T_\text{orvalho}(0,35)\approx388,42\\ \text{K}.
  • Conclusão para C: o ponto está acima de ambas as curvas ⇒ fase vapor (superaquecido ou completamente vaporizado).

Passo 7

Resumo físico e comentário final (ânimo e interpretação simples).
  • Interpretação física rápida:
    • Abaixo da curva de bolha: não há vapor formado → líquido.
    • Entre bolha e orvalho: líquido e vapor coexistem → mistura.
    • Acima da curva de orvalho: apenas vapor.
  • Observação sobre a temperatura do 2‑metoxietanol puro: o dado 126^\circ\mathrm{C}=399,15\\ \text{K} é compatível com a tendência da tabela (o T de equilíbrio varia entre valores próximos de 373\\ \text{K} e 397\\ \text{K} para os extremos; pequenas discrepâncias são normais em dados experimentais). Agora você já sabe como testar qualquer outro ponto: calcula T_\text{bolha} e T_\text{orvalho} por interpolação e compara.

Resposta

A: líquido.
B: coexistência líquido + vapor.
C: vapor.

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