Os dados de equilíbrio Líquido-Vapor referem-se ao sistema 2-metoxietanol e água, na pressão de 1atm.
x 0 0,039 0,098 0,176 0,235 0,373 0,549 0,725 0,980 1
y 0 0,118 0,259 0,402 0,485 0,628 0,748 0,833 0,980 1
T(K) 397,2 394,5 390,9 387,0 384,6 380,2 376,4 374,1 372,7 372,7
A temperatura de ebulição do 2 -metoxietanol é 126^{\circ} \mathrm{C}. Considerando inicialmente como um gráfico puramente cartesiano e justificando sua resposta, estabeleça o estado físico do sistema para os seguintes pontos:
Considerando o gráfico representando o Equilíbrio Líquido-Vapor, Determine as composições do vapor do 2-metoxietanol para as três frações na fase líquida i) 0,2 ; ii) 0,55 e iii) 0,80 . (10)

Passo 1

Liste clara do que o enunciado fornece e o que pede.
  • Foi fornecida uma tabela (peguei os dados da tabela fornecida) com as composições líquidas x, as composições vaporizadas y no equilíbrio e a temperatura T (em \mathrm{K}) para cada par (x,y) à pressão de 1\\ \mathrm{atm}. Alguns pontos da tabela (apenas os necessários aqui):
    • (x,y,T)=(0{,}000,\\\ 0{,}000,\\\ 397{,}2)
    • (x,y,T)=(0{,}039,\\\ 0{,}118,\\\ 394{,}5)
    • (x,y,T)=(0{,}176,\\\ 0{,}402,\\\ 387{,}0)
    • (x,y,T)=(0{,}235,\\\ 0{,}485,\\\ 384{,}6)
    • (x,y,T)=(0{,}373,\\\ 0{,}628,\\\ 380{,}2)
    • (x,y,T)=(0{,}549,\\\ 0{,}748,\\\ 376{,}4)
    • (x,y,T)=(0{,}725,\\\ 0{,}833,\\\ 374{,}1)
    • (x,y,T)=(0{,}980,\\\ 0{,}980,\\\ 372{,}7)
    • (x,y,T)=(1{,}000,\\\ 1{,}000,\\\ 372{,}7)
  • Também foi informada a temperatura de ebulição do 2‑metoxietanol puro: 126^\circ\mathrm{C}. Convertendo para kelvin:
126^\circ\mathrm{C}=126+273{,}15=399{,}15\\ \mathrm{K}.
Observação: nota-se uma pequena discrepância numérica entre esse valor e o T mostrado para x=0 na tabela ( 397{,}2\\ \mathrm{K}), mas isso não impede o uso da tabela para interpolação das composições de equilíbrio.
  • O enunciado tem duas partes:
    1. “Considerando inicialmente como um gráfico puramente cartesiano e justificando sua resposta, estabeleça o estado físico do sistema para os seguintes pontos:” — porém o enunciado não especificou quais são esses “seguintes pontos” (nem coordenadas nem uma figura foi fornecida). Como falta essa informação, não é possível cumprir essa primeira parte de forma precisa: para determinar se um ponto (no espaço (x,T) ou (x,y)) está na região líquido, vapor ou biphasada é necessário saber as coordenadas do ponto e compará‑las com as curvas de bolha/dew. Portanto, não há como resolver a primeira parte porque os pontos a analisar não foram informados.
    2. “Considerando o gráfico representando o Equilíbrio Líquido‑Vapor, determine as composições do vapor do 2‑metoxietanol para as três frações na fase líquida i) 0{,}2; ii) 0{,}55 e iii) 0{,}80.” — Esta segunda parte está completa: pede para encontrar y (fração de 2‑metoxietanol na fase vapor em equilíbrio) correspondente a cada \,x (fração na fase líquida). Vou resolver esta parte usando os dados da tabela e interpolação linear entre os pontos extremos mais próximos.

Passo 2

Conceito físico e método prático (explicação didática e intuitiva).
  • Em equilíbrio líquido–vapor para uma mistura binária à pressão fixa, existe uma curva “bolha” (temperatura de início de ebulição em função de x) e uma curva “orvalho/dew” (composição do vapor y em equilíbrio com o líquido x). Para uma dada composição líquida x, a composição do vapor em equilíbrio y é obtida na curva dew correspondente (ou, equivalentemente, lida no diagrama y vs x do equilíbrio).
  • Na prática, quando só se tem uma tabela discreta (x_i,y_i), para um x que não coincide exatamente com uma entrada, usa‑se interpolação linear entre os dois pontos da tabela que cercam esse x. Isso assume que entre esses pontos a variação é aproximadamente linear — uma aproximação comum e aceitável para pequenos intervalos.
  • Fórmula da interpolação linear entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), para um x entre x_1 e x_2:
y = y_1 + (y_2-y_1)\,\frac{x-x_1}{x_2-x_1}.
Aqui x é a composição líquida alvo e y é a composição vapor que queremos estimar. Vou aplicar exatamente essa fórmula usando os pares adjacentes da tabela.

Passo 3

Cálculo detalhado para i) x=0{,}2.
  • Na tabela os pontos que cercam x=0{,}2 são:
    • x_1=0{,}176,\\ y_1=0{,}402 (peguei estes valores da tabela)
    • x_2=0{,}235,\\ y_2=0{,}485 (peguei estes valores da tabela)
  • Aplicando a fórmula:
y = 0{,}402 + (0{,}485-0{,}402)\,\frac{0{,}2-0{,}176}{0{,}235-0{,}176}.
  • Calcule passo a passo:
x_2-x_1 = 0{,}235-0{,}176 = 0{,}059,
x-x_1 = 0{,}200-0{,}176 = 0{,}024,
\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{0{,}024}{0{,}059}\approx 0{,}40677966,
y_2-y_1 = 0{,}485-0{,}402 = 0{,}083,
(0{,}083)\times 0{,}40677966 \approx 0{,}0337627,
y \approx 0{,}402 + 0{,}0337627 = 0{,}4357627.
  • Arredondando de forma razoável (3 casas decimais) obtemos y\approx 0{,}436.

Passo 4

Cálculo detalhado para ii) x=0{,}55.
  • O x=0{,}55 está muito próximo do ponto da tabela x=0{,}549. Usamos os dois pontos mais próximos:
    • x_1=0{,}549,\\ y_1=0{,}748 (da tabela)
    • x_2=0{,}725,\\ y_2=0{,}833 (da tabela)
  • Aplicando a fórmula:
y = 0{,}748 + (0{,}833-0{,}748)\,\frac{0{,}55-0{,}549}{0{,}725-0{,}549}.
  • Cálculos:
x_2-x_1 = 0{,}176,
x-x_1 = 0{,}001,
\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{0{,}001}{0{,}176}\approx 0{,}00568182,
y_2-y_1 = 0{,}085,
(0{,}085)\times 0{,}00568182 \approx 0{,}00048395,
y \approx 0{,}748 + 0{,}00048395 = 0{,}74848395.
  • Arredondando a três casas decimais: y\approx 0{,}748 (ou mantendo quatro casas 0{,}7485 se desejar maior precisão).

Passo 5

Cálculo detalhado para iii) x=0{,}80.
  • Para x=0{,}80 os pontos da tabela que cercam são:
    • x_1=0{,}725,\\ y_1=0{,}833 (da tabela)
    • x_2=0{,}980,\\ y_2=0{,}980 (da tabela)
  • Aplicando a fórmula:
y = 0{,}833 + (0{,}980-0{,}833)\,\frac{0{,}80-0{,}725}{0{,}980-0{,}725}.
  • Cálculos:
x_2-x_1 = 0{,}255,
x-x_1 = 0{,}075,
\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{0{,}075}{0{,}255}\approx 0{,}29411765,
y_2-y_1 = 0{,}147,
(0{,}147)\times 0{,}29411765 \approx 0{,}04323529,
y \approx 0{,}833 + 0{,}04323529 = 0{,}87623529.
  • Arredondando a três casas decimais: y\approx 0{,}876.

Passo 6

Interpretação final e dicas para a prova (resumo prático).
  • O procedimento usado foi interpolação linear entre os pares de equilíbrio mais próximos fornecidos na tabela. Em prova, mostre explicitamente os dois pontos escolhidos e aplique a fórmula de interpolação com as operações detalhadas (como fiz acima).
  • Se houver um gráfico de y vs x disponível, a leitura visual do y correspondente a um x pode ser feita diretamente; quando precisar de precisão use interpolação entre os pontos mais próximos.
  • Se o enunciado pedisse também o estado físico para pontos específicos (parte 1), seria necessário ter as coordenadas desses pontos (por exemplo um ponto (x,T) ou um ponto (x,y) no diagrama). Sem esses dados não é possível classificar como “apenas líquido”, “apenas vapor” ou “duas fases”. Lembre‑se: um ponto entre curva de bolha e de orvalho corresponde a mistura bifásica; abaixo da curva de bolha é líquido único; acima da curva de orvalho é vapor único.

Resposta

i) y\approx 0{,}436
ii) y\approx 0{,}748
iii) y\approx 0{,}876

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