3- Precisa-se forjar uma peça, com dimensões finais de D=500 \mathrm{~mm} e H=100 \mathrm{~mm} . \mathbf{( 5 , 0 )}
b) b) Qual é a carga de forjamento, sabendo-se que a lei de encruamento (TensãoDeformação) é : \sigma_{\mathrm{v}}=\sigma_{\mathrm{o}}\left[1+1,2 \ln \left(\mathrm{D} / \mathrm{D}_{0}\right)\right], em que \sigma_{\mathrm{o}}=80 \mathrm{MPa}. Utilize o método aproximado e um fator de calibração \gamma=2 (peça simples, a frio e matriz aberta). (3,0)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vou listar TUDO que aparece no enunciado):
  • Dimensões finais da peça: \,D=500\\ \mathrm{mm}\, e \,H=100\\ \mathrm{mm}\,.
  • Lei de encruamento (tensão–deformação dada): \sigma_{v}=\sigma_{o}\Bigl[1+1{,}2\ln\!\Bigl(\frac{D}{D_{0}}\Bigr)\Bigr], em que \sigma_{o}=80\\ \mathrm{MPa}.
  • Método a usar: método aproximado com fator de calibração \gamma=2 (peça simples, a frio, matriz aberta).
  • Pergunta: “Qual é a carga de forjamento?” — ou seja, calcular a força P necessária.
Informação faltante/necessária para resolver numericamente:
  • A fórmula dada depende de \,D_0 (diâmetro de referência/inicial). O enunciado NÃO fornece o valor de \,D_0.
    Portanto não há dados suficientes para fornecer um valor numérico único de carga. Vou contudo mostrar passo a passo o método correto, obter a expressão fechada de P em função de D_0 e, para dar intuição, calcular exemplos numéricos assumindo valores plausíveis para \,D_0 (esses exemplos serão claramente marcados como suposições).

Passo 2

Explicando a ideia física e o método aproximado (aulas rápidas e práticas):
  • Em forjamento aberto e método aproximado usual, a carga de forjamento P é estimada como produto de uma tensão característica de escoamento (fluxo) pela área projetada da peça, corrigida por um fator de calibração que engloba atrito, heterogeneidade de deformação, etc. Assim a forma simples é
P=\gamma\;\sigma_{\text{fluxo}}\;A,
onde:
  • \gamma é o fator de calibração (dado \gamma=2),
  • \sigma_{\text{fluxo}} é a tensão de escoamento (aqui representada por \sigma_{v} dada),
  • A é a área sobre a qual a força atua (área do plano de contato / área projetada).
  • Observação prática: como trata-se de esmagamento (upsetting) que aumenta o diâmetro até \,D=500\\ \mathrm{mm}, é comum usar a seção circular final como área projetada aproximada: A\approx \frac{\pi D^{2}}{4}.
(Isto é o que o “método aproximado” pede: área projetada circular. Em problemas mais refinados podia-se usar média de áreas ou fator adicional, mas aqui o enunciado pede o método aproximado.)

Passo 3

Substituindo a lei de encruamento na fórmula de carga:
  • A tensão de fluxo é \sigma_{v}=\sigma_{o}\Bigl[1+1{,}2\ln\!\bigl(\tfrac{D}{D_{0}}\bigr)\Bigr].
  • A área final é A=\dfrac{\pi D^{2}}{4}.
  • Logo a expressão geral para a carga P (em unidades de N, se \sigma em \mathrm{MPa}= \mathrm{N/mm^{2}} e D em mm) é
P=\gamma\;\sigma_{o}\Bigl[1+1{,}2\ln\!\Bigl(\frac{D}{D_{0}}\Bigr)\Bigr]\cdot\frac{\pi D^{2}}{4}.
Nesta fórmula:
  • P tem dimensão de força,
  • \gamma é adimensional,
  • \sigma_{o} em \mathrm{MPa}=\mathrm{N/mm^{2}},
  • D e D_{0} em \mathrm{mm},
  • A área \dfrac{\pi D^{2}}{4} em \mathrm{mm^{2}}.

Passo 4

Inserindo os valores conhecidos (exceto D_{0}) e simplificando numericamente os coeficientes:
  • Colocar D=500\\ \mathrm{mm}, \sigma_{o}=80\\ \mathrm{MPa} e \gamma=2. Então a área final é
A=\frac{\pi (500)^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot 250000}{4}=62500\pi\\ \mathrm{mm^{2}}.
  • Substituindo tudo,
P=2\cdot 80\\ \mathrm{MPa}\;\Bigl[1+1{,}2\ln\!\Bigl(\frac{500}{D_{0}}\Bigr)\Bigr]\cdot 62500\pi.
  • Multiplicando os fatores constantes 2\cdot 80\cdot 62500=160\cdot 62500=10\,000\,000, obtemos a forma compacta
P=10{,}000{,}000\\ \pi\\ \Bigl[1+1{,}2\ln\!\Bigl(\frac{500}{D_{0}}\Bigr)\Bigr]\\ \text{N}.
  • Se preferir em kN, divida por 1000:
P=10{,}000\\ \pi\\ \Bigl[1+1{,}2\ln\!\Bigl(\frac{500}{D_{0}}\Bigr)\Bigr]\\ \text{kN}.

Passo 5

Interpretação prática da expressão e cuidados de unidade:
  • A expressão mostra que a carga cresce com a tensão de escoamento efetiva, que por sua vez cresce com \ln(D/D_{0}) (ou seja, quanto maior a deformação radial relativa, maior o encruamento e maior a tensão).
  • Unidades: como \sigma_{o}=80\\ \mathrm{MPa}=80\\ \mathrm{N/mm^{2}} e área em \mathrm{mm^{2}}, o resultado em N está coerente.
  • Como o enunciado não fornece \,D_0, esta expressão é a resposta “fechada” correta: ela dá P para qualquer D_0 conhecido.

Passo 6

Exemplos numéricos (apenas para dar intuição — são hipóteses ilustrativas, NÃO valores dados no enunciado):
  • Se assumíssemos, por exemplo, D_{0}=100\\ \mathrm{mm}, então \ln(500/100)=\ln(5)\approx1{,}6094 e
P=10{,}000{,}000\pi\,[1+1{,}2\cdot 1{,}6094]\\ \mathrm{N} =10{,}000{,}000\pi\,[1+1{,}9313]\\ \mathrm{N} =10{,}000{,}000\pi\cdot 2{,}9313\\ \mathrm{N}.
Numericamente,
P\approx 10{,}000{,}000\cdot 3{,}14159\cdot 2{,}9313\\ \mathrm{N}\approx 92{,}100{,}000\\ \mathrm{N}\approx 92{,}100\\ \mathrm{kN}.
  • Se assumíssemos D_{0}=300\\ \mathrm{mm}, \ln(500/300)=\ln(5/3)\approx0{,}5108 e
P\approx 10{,}000{,}000\pi\,[1+1{,}2\cdot0{,}5108]\approx 10{,}000{,}000\pi\cdot(1+0{,}6129)\approx 10{,}000{,}000\pi\cdot1{,}6129
o que dá aproximadamente
P\approx 50{,}650{,}000\\ \mathrm{N}\approx 50{,}650\\ \mathrm{kN}.
  • Esses exemplos mostram que o valor numérico varia bastante com D_{0}, daí a necessidade de ter D_{0} para resposta numérica precisa.

Resposta

P=10{,}000{,}000\\ \pi\\ \Bigl[1+1{,}2\ln\!\Bigl(\frac{500}{D_{0}}\Bigr)\Bigr]\\ \mathrm{N}

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