(Enem) Três amigos, A, B e C, se encontraram em um supermercado. Por coincidência, estavam comprando os mesmos itens, conforme o quadro.
Amigos Arroz (kg) Feijão (kg) Macarrão (kg)
A 3 2 4
B 2 3 3
C 2 2 2
Os amigos estavam muito entretidos na conversa e nem perceberam que pagaram suas compras, pegaram seus trocos e esqueceram seus comprovantes. Já longe do supermercado, “A” lembrou que precisava saber o quanto pagou por um quilo de arroz e dois quilos de macarrão, pois estava comprando para sua vizinha e esperava ser ressarcido. “B”, que adorava desafios matemáticos, disse que pagou suas compras com R$40,00 e obteve troco de R$7,30, e que conseguiria determinar o custo desses itens se os amigos dissessem como pagaram e quanto foram seus respectivos trocos. “A” disse que pagou com R$40,00 e obteve troco de \mathrm{R} \4,00 , e " C " pagou com\mathrm{R} $ 30,00 e obteve troco de\mathrm{R} $5,40$.
A vizinha de “A” deve a ele pela compra, em reais, o valor de
a. 8,10 .
b. 10,00 .
c. 11,40 .
d. 12,00 .
e. 13,20.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Cada amigo comprou arroz, feijão e macarrão nas quantidades dadas na tabela:
    • Amigos A: 3 kg de arroz, 2 kg de feijão, 4 kg de macarrão.
    • Amigos B: 2 kg de arroz, 3 kg de feijão, 3 kg de macarrão.
    • Amigos C: 2 kg de arroz, 2 kg de feijão, 2 kg de macarrão.
  • Formas de pagamento (peguei estes números do enunciado):
    • B pagou com R\$40,00 e obteve troco de R\$ 7,30.
    • A pagou com R\$40,00 e obteve troco de R\$ 4,00.
    • C pagou com R\$30,00 e obteve troco de R\$ 5,40.
O enunciado pede: quanto a vizinha de A deve a ele pela compra de 1 kg de arroz e 2 kg de macarrão — ou seja, calcular o valor de 1 kg de arroz mais 2 kg de macarrão.

Passo 2

Definir variáveis e calcular quanto cada amigo efetivamente gastou (pagamento menos troco).
  • Definições:
    • Seja x o preço de 1 kg de arroz (em reais).
    • Seja y o preço de 1 kg de feijão (em reais).
    • Seja z o preço de 1 kg de macarrão (em reais).
Explicar rápido: cada compra total é a soma das quantidades vezes os preços por kg; isso gera equações lineares em x,y,z.
  • Gastos reais (pagamento menos troco):
    • Para B: gasto = 40,00 - 7,30. Em TeX: 40,00 - 7,30 = 32,70.
    • Para A: gasto = 40,00 - 4,00. Em TeX: 40,00 - 4,00 = 36,00.
    • Para C: gasto = 30,00 - 5,40. Em TeX: 30,00 - 5,40 = 24,60.

Passo 3

Escrever as equações que relacionam quantidades e preços.
  • A comprou 3 kg arroz, 2 kg feijão, 4 kg macarrão e gastou 36,00. Isso dá: 3x + 2y + 4z = 36,00.
  • B comprou 2 kg arroz, 3 kg feijão, 3 kg macarrão e gastou 32,70. Isso dá: 2x + 3y + 3z = 32,70.
  • C comprou 2 kg arroz, 2 kg feijão, 2 kg macarrão e gastou 24,60. Isso dá: 2x + 2y + 2z = 24,60.
Breve aula: temos aqui um sistema de três equações lineares com três incógnitas. Um método simples e prático é eliminação — combinar equações para cancelar incógnitas e achar o que se quer.

Passo 4

Simplificar e usar eliminação para encontrar x + 2z (que é exatamente 1 kg de arroz mais 2 kg de macarrão).
  • Primeiro, simplifico a equação de C dividindo por 2 (porque todos os coeficientes são pares), o que é permitido e facilita:
    x + y + z = 12,30.
    Explicação: dividir uma equação por um número não nulo mantém a equivalência da equação.
  • Agora subtraio essa equação da equação de B para eliminar x (ou para reduzir o sistema). Escrevendo B menos C:
    (2x+3y+3z) - (2x+2y+2z) = 32,70 - 24,60.
    No lado esquerdo 2x-2x=0 (os termos em x cancelam), e sobra:
    y + z = 8,10.
    Explicação: ao subtrair equações, coeficientes correspondentes se subtraem; isso é a essência da eliminação — cancelar variáveis para obter equações mais simples.
  • Agora subtraio a equação de C (antes de dividir por 2, ou equivalentemente subtraio a versão original) da equação de A para eliminar um conjunto de termos. Faço A menos C (usar a forma original é conveniente):
    (3x+2y+4z) - (2x+2y+2z) = 36,00 - 24,60.
    No lado esquerdo 2y-2y=0 (os y cancelam) e 3x-2x = x, 4z-2z = 2z, logo:
    x + 2z = 11,40.
    Observação: esta expressão x+2z é exatamente o que a vizinha deve a A (1 kg de arroz mais 2 kg de macarrão). Aqui a eliminação foi usada com sucesso: ao subtrair a compra de C da compra de A, os termos em y cancelaram automaticamente porque A e C tinham a mesma quantidade de feijão, então sobrou justamente a combinação buscada.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida.
  • A equação obtida x + 2z = 11,40 nos dá diretamente o valor que a vizinha deve pagar a A por 1 kg de arroz e 2 kg de macarrão: R\$ 11,40.
  • Checagem (opcional, para conforto): usando x+y+z=12,30 e y+z=8,10 deduz-se x=12,30-8,10=4,20. Substituindo em x+2z=11,40 2z=11,40-4,20=7,20, logo z=3,60. Então x+2z=4,20+2\cdot3,60=4,20+7,20=11,40 — compatível.
  • Motivação final: o problema foi resolvido montando um sistema linear a partir das compras e usando eliminação para cancelar incógnitas. Dá pra ver que às vezes subtrair linhas certas já entrega exatamente a combinação que se quer — é uma técnica poderosa e rápida para provas.

Resposta

R\$ 11,40

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