(Enem) Três amigos, A, B e C, se encontraram em um supermercado. Por coincidência, estavam comprando os mesmos itens, conforme o quadro.
Amigos
Arroz (kg)
Feijão (kg)
Macarrão (kg)
A
3
2
4
B
2
3
3
C
2
2
2
Os amigos estavam muito entretidos na conversa e nem perceberam que pagaram suas compras, pegaram seus trocos e esqueceram seus comprovantes. Já longe do supermercado, “A” lembrou que precisava saber o quanto pagou por um quilo de arroz e dois quilos de macarrão, pois estava comprando para sua vizinha e esperava ser ressarcido. “B”, que adorava desafios matemáticos, disse que pagou suas compras com R$40,00 e obteve troco de R$7,30, e que conseguiria determinar o custo desses itens se os amigos dissessem como pagaram e quanto foram seus respectivos trocos. “A” disse que pagou com R$40,00 e obteve troco de
4,00
\mathrm{R} $ 30,00
\mathrm{R} $5,40$.
A vizinha de “A” deve a ele pela compra, em reais, o valor de
a. 8,10 .
b. 10,00 .
c. 11,40 .
d. 12,00 .
e. 13,20.
| Amigos | Arroz (kg) | Feijão (kg) | Macarrão (kg) |
| A | 3 | 2 | 4 |
| B | 2 | 3 | 3 |
| C | 2 | 2 | 2 |
A vizinha de “A” deve a ele pela compra, em reais, o valor de
a. 8,10 .
b. 10,00 .
c. 11,40 .
d. 12,00 .
e. 13,20.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Cada amigo comprou arroz, feijão e macarrão nas quantidades dadas na tabela:
- Amigos A:
kg de arroz, kg de feijão, kg de macarrão. - Amigos B:
kg de arroz, kg de feijão, kg de macarrão. - Amigos C:
kg de arroz, kg de feijão, kg de macarrão.
- Amigos A:
- Formas de pagamento (peguei estes números do enunciado):
- B pagou com
e obteve troco de . - A pagou com
e obteve troco de . - C pagou com
e obteve troco de .
- B pagou com
O enunciado pede: quanto a vizinha de A deve a ele pela compra de 1 kg de arroz e 2 kg de macarrão — ou seja, calcular o valor de
kg de arroz mais
kg de macarrão.
Passo 2
Definir variáveis e calcular quanto cada amigo efetivamente gastou (pagamento menos troco).
- Definições:
- Seja
o preço de kg de arroz (em reais). - Seja
o preço de kg de feijão (em reais). - Seja
o preço de kg de macarrão (em reais).
- Seja
Explicar rápido: cada compra total é a soma das quantidades vezes os preços por kg; isso gera equações lineares em
.
- Gastos reais (pagamento menos troco):
- Para B: gasto
. Em TeX: - Para A: gasto
. Em TeX: - Para C: gasto
. Em TeX:
- Para B: gasto
Passo 3
Escrever as equações que relacionam quantidades e preços.
- A comprou
kg arroz, kg feijão, kg macarrão e gastou . Isso dá: - B comprou
kg arroz, kg feijão, kg macarrão e gastou . Isso dá: - C comprou
kg arroz, kg feijão, kg macarrão e gastou . Isso dá:
Breve aula: temos aqui um sistema de três equações lineares com três incógnitas. Um método simples e prático é eliminação — combinar equações para cancelar incógnitas e achar o que se quer.
Passo 4
Simplificar e usar eliminação para encontrar
(que é exatamente 1 kg de arroz mais 2 kg de macarrão).
-
Primeiro, simplifico a equação de C dividindo por
(porque todos os coeficientes são pares), o que é permitido e facilita: Explicação: dividir uma equação por um número não nulo mantém a equivalência da equação. -
Agora subtraio essa equação da equação de B para eliminar
(ou para reduzir o sistema). Escrevendo B menos C: No lado esquerdo(os termos em cancelam), e sobra: Explicação: ao subtrair equações, coeficientes correspondentes se subtraem; isso é a essência da eliminação — cancelar variáveis para obter equações mais simples. -
Agora subtraio a equação de C (antes de dividir por 2, ou equivalentemente subtraio a versão original) da equação de A para eliminar um conjunto de termos. Faço A menos C (usar a forma original é conveniente):No lado esquerdo
(os cancelam) e , , logo: Observação: esta expressãoé exatamente o que a vizinha deve a A (1 kg de arroz mais 2 kg de macarrão). Aqui a eliminação foi usada com sucesso: ao subtrair a compra de C da compra de A, os termos em cancelaram automaticamente porque A e C tinham a mesma quantidade de feijão, então sobrou justamente a combinação buscada.
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida.
-
A equação obtida
nos dá diretamente o valor que a vizinha deve pagar a A por kg de arroz e kg de macarrão: . -
Checagem (opcional, para conforto): usando
e deduz-se . Substituindo em dá , logo . Então — compatível. -
Motivação final: o problema foi resolvido montando um sistema linear a partir das compras e usando eliminação para cancelar incógnitas. Dá pra ver que às vezes subtrair linhas certas já entrega exatamente a combinação que se quer — é uma técnica poderosa e rápida para provas.