Resolva, em IR, as equações.
\left|\begin{array}{rrr}1 & -2 & 0 \\\\ 2 & 4 & x \\\\ 4 & 0 & x\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação obtida impondo que o determinante da matriz seja zero. A matriz dada é
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0\\[4pt] 2 & 4 & x\\[4pt] 4 & 0 & x \end{pmatrix}
A incógnita é x\in\mathbb{R}. Então a pergunta é: para quais valores de x vale
\left|\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 0\\[4pt] 2 & 4 & x\\[4pt] 4 & 0 & x \end{array}\right|=0 ?]

Passo 2

Breve aula sobre determinante de matriz 3\times3 (modo prático para usar na prova).
  • Dada uma matriz
\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix},
uma forma direta e segura de calcular o determinante é a expansão pela primeira linha:
\det = a\,(e i - f h)\;-\;b\,(d i - f g)\;+\;c\,(d h - e g).
Aqui cada subexpressão do tipo e i - f h é o determinante 2\times2 da matriz que sobra quando eliminamos a linha e coluna de a.
  • Observação prática: se algum elemento da primeira linha for zero, o termo correspondente é nulo, o que simplifica as contas (isso é ótimo na prova).]

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso, identificamos
a=1,\quad b=-2,\quad c=0,
d=2,\quad e=4,\quad f=x,
g=4,\quad h=0,\quad i=x.
Agora calculamos cada termo da expressão do determinante:
Calcule a\,(e i - f h):
e i - f h = 4\cdot x - x\cdot 0 = 4x,
logo
a\,(e i - f h) = 1\cdot(4x) = 4x.
Calcule -b\,(d i - f g):
d i - f g = 2\cdot x - x\cdot 4 = 2x - 4x = -2x,
como b=-2, temos
-\,b\,(d i - f g) = -(-2)\cdot(-2x) = 2\cdot(-2x) = -4x.
Calcule c\,(d h - e g): como c=0, esse termo é 0.
Somando os termos:
\det = 4x + (-4x) + 0 = 0.
Portanto o determinante é igual a 0 para qualquer valor de x — ele é a expressão identicamente zero.

Passo 4

Interpretação e verificação por dependência linear (intuição útil na prova):
  • O fato de o determinante ser zero para todo x significa que as colunas (ou as linhas) da matriz são sempre linearmente dependentes, independentemente de x.
  • Uma verificação simples: as colunas são
\text{col}_1=(1,2,4),\qquad \text{col}_2=(-2,4,0),\qquad \text{col}_3=(0,x,x).
Note que
2\cdot\text{col}_1+\text{col}_2=(2\cdot1+(-2),\,2\cdot2+4,\,2\cdot4+0)=(0,8,8)=8\,(0,1,1).
Como \text{col}_3=x\,(0,1,1), segue que
\text{col}_3=\frac{x}{8}\,\bigl(2\cdot\text{col}_1+\text{col}_2\bigr),
ou seja, \text{col}_3 é combinação linear de \text{col}_1 e \text{col}_2 para qualquer x. Daí a dependência linear e determinante sempre zero. Essa verificação confirma o cálculo anterior.

Resposta

\mathbb{R}

Exercícios relacionados