Predizer, por argumentos qualitativos, se um pêndulo que oscile com grande amplitude terá um período maior ou menor do que o período das oscilações de pequena amplitude. (Considere situações extremas.)

Passo 1

O enunciado nos pede para comparar o período de um pêndulo simples em duas situações: oscilações de pequena amplitude e oscilações de grande amplitude. O conteúdo é a dinâmica do pêndulo, em que a equação exata envolve \sin\theta, mas para pequenas oscilações usamos a aproximação \sin\theta\approx\theta. Vamos entender qualitativamente como essa aproximação afeta o valor do período.

Passo 2

Para pequenas amplitudes, vale \sin\theta\approx\theta (em radianos) e a equação do pêndulo
\ddot\theta + \frac{g}{L}\,\sin\theta = 0
aproxima-se de
\ddot\theta + \frac{g}{L}\,\theta = 0,
que é um oscilador harmônico simples com período
T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Note que nesse caso T_0 é independente da amplitude.

Passo 3

Quando a amplitude não é pequena, a aproximação \sin\theta\approx\theta falha porque, para |\theta| mais altos, \sin\theta cresce mais devagar que \theta. Isso significa que a força restauradora -mg\sin\theta fica relativamente menor quando a massa está longe da vertical, fazendo o pêndulo se mover mais lentamente nas regiões de amplitude extrema.

Passo 4

Qualitativamente, o pêndulo passa mais tempo próximo dos extremos de oscilação se a amplitude é grande, pois ali a componente tangencial da gravidade é fraca. Em situações extremas, ao aproximar-se de \theta=\pm\pi, essa componente vai a zero e o corpo “quase para” antes de retornar, o que aumenta ainda mais o período.

Resposta

O período de oscilações de grande amplitude é maior do que o período de oscilações de pequena amplitude.

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