O que acontece com a freqüência de um balanço, quando sua oscilação passa de amplitude grande para pequena?
Passo 1
O enunciado pergunta como varia a frequência de um balanço (pendulo simples) quando sua amplitude de oscilação passa de valores grandes para pequenos. O conteúdo envolvido é o estudo do período e da frequência do pêndulo, mostrando que para pequenas amplitudes o movimento é aproximadamente harmônico simples e o período independe da amplitude, mas para amplitudes maiores há uma dependência fraca da amplitude.
Passo 2
Para pequenas amplitudes
(ângulo máximo de oscilação), o período do pêndulo é dado pela fórmula clássica
onde
é o comprimento do fio e
a aceleração da gravidade. Nesse caso, o período não depende de
e a frequência
é constante.
Passo 3
Para amplitudes maiores, o período exato é dado por uma integral elíptica
Não entraremos em todos os detalhes da elíptica, mas dessa expressão pode-se obter uma expansão em série para
pequeno (em radianos).
Passo 4
A expansão em série para o período, até a ordem
, é
Como a frequência é
, temos
Passo 5
Dessa aproximação fica claro que, à medida que a amplitude
diminui, o termo
tende a zero e
aumenta, aproximando-se do valor constante
do regime de pequeno ângulo.
Resposta
A frequência aumenta ligeiramente ao reduzir a amplitude de oscilação, tendendo ao valor constante característico do pequeno-ângulo do pêndulo.