O que acontece com a freqüência de um balanço, quando sua oscilação passa de amplitude grande para pequena?

Passo 1

O enunciado pergunta como varia a frequência de um balanço (pendulo simples) quando sua amplitude de oscilação passa de valores grandes para pequenos. O conteúdo envolvido é o estudo do período e da frequência do pêndulo, mostrando que para pequenas amplitudes o movimento é aproximadamente harmônico simples e o período independe da amplitude, mas para amplitudes maiores há uma dependência fraca da amplitude.

Passo 2

Para pequenas amplitudes \theta_0 (ângulo máximo de oscilação), o período do pêndulo é dado pela fórmula clássica
T_0 \;=\; 2\pi\,\sqrt{\frac{L}{g}},
onde L é o comprimento do fio e g a aceleração da gravidade. Nesse caso, o período não depende de \theta_0 e a frequência f_0 = 1/T_0 é constante.

Passo 3

Para amplitudes maiores, o período exato é dado por uma integral elíptica
T(\theta_0) \;=\; 4\,\sqrt{\frac{L}{g}}\;\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(\frac{\theta_0}{2})\,\sin^2\varphi}}\;d\varphi.
Não entraremos em todos os detalhes da elíptica, mas dessa expressão pode-se obter uma expansão em série para \theta_0 pequeno (em radianos).

Passo 4

A expansão em série para o período, até a ordem \theta_0^2, é
T(\theta_0)\approx T_0\;\Bigl(1 + \tfrac{1}{16}\,\theta_0^2 + \cdots\Bigr).
Como a frequência é f(\theta_0)=1/T(\theta_0), temos
f(\theta_0)\approx \frac{1}{T_0}\;\Bigl(1 - \tfrac{1}{16}\,\theta_0^2 + \cdots\Bigr) = f_0\;\Bigl(1 - \tfrac{1}{16}\,\theta_0^2 + \cdots\Bigr).

Passo 5

Dessa aproximação fica claro que, à medida que a amplitude \theta_0 diminui, o termo \tfrac{1}{16}\,\theta_0^2 tende a zero e f(\theta_0) aumenta, aproximando-se do valor constante f_0 do regime de pequeno ângulo.

Resposta

A frequência aumenta ligeiramente ao reduzir a amplitude de oscilação, tendendo ao valor constante característico do pequeno-ângulo do pêndulo.

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